Question

16．已知f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，若f（ax+1）≤f（x-2）在$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，1]
• B． [-2，0]
• C． [-1，1]
• D． [-1，0]

Answer 1

分析 因?yàn)榕己瘮?shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，根據(jù)已知中f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，易得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，又由若$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$時(shí)，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，結(jié)合函數(shù)恒成立的條件，求出$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$時(shí)f（x-2）的最小值，從而可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$時(shí)，x-2∈[-$\frac{3}{2}$，-1]，
故f（x-2）≥f（-1）=f（1），
若$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$時(shí)，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
則當(dāng)$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$時(shí)，|ax+1|≤1恒成立，
∴-1≤ax+1≤1，∴$\frac{-2}{x}$≤a≤0，
∴-2≤a≤0，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，主要考查的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知條件結(jié)合偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，證得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，進(jìn)而給出$x∈[{\frac{1}{2}\;，\;1}]$時(shí)f（x-2）的最小值，是解答本題的關(guān)鍵．