Question

5．今年我校高中部在全市初三學(xué)生中進(jìn)行自主招生試點(diǎn)，通過(guò)面試招錄35名優(yōu)秀初三畢業(yè)生，第一輪面試共有從易到難的A、B、C、D四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：
（1）每位參加者都必須按問(wèn)題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束；
（2）每位參加者計(jì)分器的初始分?jǐn)?shù)都是100分，答對(duì)問(wèn)題A加10分，答對(duì)問(wèn)題B加20分，答對(duì)問(wèn)題C加30分，答對(duì)問(wèn)題D加60分，答錯(cuò)任意一題減20分；
（3）每回答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于80分時(shí)，答題結(jié)束，直接淘汰出局；
（4）當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于140分時(shí)，答題結(jié)束，直接進(jìn)入下一輪；
（5）當(dāng)答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足140分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局．
現(xiàn)有某學(xué)生甲對(duì)問(wèn)題A、B、C、D答對(duì)的概率分別為$\frac{3}{4}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
（Ⅰ）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望（均值）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A、B、C、D分別表示第1、2、3、4個(gè)問(wèn)題用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答正確，記“甲同學(xué)進(jìn)入下一輪”為事件K，由$P（K）=P（{M_1}{M_2}{M_3}+\overline{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}\overline{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}+\overline{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}）$，能求出甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的取值為ξ=2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和甲同學(xué)答題個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C、D分別表示第1、2、3、4個(gè)問(wèn)題
用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答正確
用${\overline M_i}（i=1，2，3，4）$表示甲同學(xué)第i個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤
由題意得$P（{M_1}）=\frac{3}{4}$、$P（{M_2}）=\frac{1}{2}$、$P（{M_3}）=\frac{1}{3}$、$P（{M_4}）=\frac{1}{4}$，（2分）
記“甲同學(xué)進(jìn)入下一輪”為事件K，
則$P（K）=P（{M_1}{M_2}{M_3}+\overline{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}\overline{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}+\overline{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}）$
=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為$\frac{1}{4}$．（6分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量ξ的取值為ξ=2，3，4，（7分）
ξ=2表示回答兩道題都錯(cuò)，淘汰出局，$P（ξ=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，（9分）
ξ=3表示回答三道題答題結(jié)束，包括M₁M₂M₃，${M_1}\overline{M_2}\overline{M_3}$，
∴$P（ξ=3）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{3}{8}$，（11分）
$P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=\frac{1}{2}$，（12分）
則隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$

$E（ξ）=2×\frac{1}{8}+3×\frac{3}{8}+4×\frac{1}{2}=\frac{27}{8}$
即甲同學(xué)答題個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為$\frac{27}{8}$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．