3.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱AB上的動點.
(Ⅰ)求證:DA1⊥ED1
(Ⅱ)若E為AB中點時,求二面角D1-EC-D的余弦值;
(Ⅲ)寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置(結(jié)論不要求證明).

分析 (Ⅰ)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明DA1⊥ED1
(Ⅱ)求出平面CED1的一個法向量和平面CED的一個法向量,利用向量法能求出二面角D1-EC-D的余弦值.
(Ⅲ)點E在點A處時,點E到直線D1C距離取最大值.

解答 (本小題滿分9分
證明:(Ⅰ)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,
以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,
則D(0,0,0),
A(1,0,0),B(1,1,0),
C(0,1,0),D1(0,0,1),
A1(1,0,1),
設(shè)E(1,m,0),(0≤m≤1),
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=(1,0,1),$\overrightarrow{E{D}_{1}}$=(-1,-m,1),
$\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{E{D}_{1}}$=-1+0+1=0,
∴DA1⊥ED1
解:(Ⅱ)E為AB中點時,E(1,$\frac{1}{2}$,0),
$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=(0,-1,1),$\overrightarrow{CE}$=(1,-$\frac{1}{2}$,0),
設(shè)平面CED1的一個法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=x-\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,2,2),
平面CED的一個法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設(shè)二面角D1-EC-D的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$,
∴二面角D1-EC-D的余弦值為$\frac{2}{3}$.
(Ⅲ)點E到直線D1C距離的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$,此時點E在點A處.

點評 本題考查線線垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查點到直線的距離的最大值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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