Question

11．已知等比數列{a_n}，各項a_n＞0，公比為q．
（1）設b_n=log_ca_n（c＞0，c≠1），求證：數列{b_n}是等差數列，并求出該數列的首項b₁及公差d；
（2）設（1）中的數列{b_n}單調遞減，求公比q的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列與等差數列的定義與通項公式，寫出a_n與b_n，
即可得出{b_n}是等差數列，從而寫出首項與公差；
（2）根據數列{b_n}的通項公式為一次函數，討論一次項的系數即可得出結論．

解答 解：（1）等比數列{a_n}中，
${a_n}={a_1}{q^{n-1}}（{{a_1}＞0，q＞0}）$，
b_n=log_ca_n=log_ca₁+（n-1）log_cq，
∴數列{b_n}是等差數列，
且首項為b₁=log_ca₁，公差為d=log_cq；
（2）數列{b_n}的通項公式可化為
b_n=（log_cq）•n+（log_ca₁-log_cq），q≠1，
①若0＜c＜1，則當q＞1時，有l(wèi)og_cq＜0，從而數列{b_n}單調遞減；
②若c＞1，則當0＜q＜1時，有l(wèi)og_cq＜0，從而數列{b_n}單調遞減．
綜上，當0＜c＜1時，q＞1；當c＞1時，0＜q＜1．

點評 本題考查了等差與等比數列的定義與通項公式的應用問題，是基礎題目．