Question

1．S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=3a_n-2a₁，a₃=$\frac{1}{4}$，b_n=a_nlna_n，則數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)是（　�。�

• A． 第3項(xiàng)
• B． 第4項(xiàng)
• C． 第5項(xiàng)
• D． 第6項(xiàng)

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得a_n，再由函數(shù)y=xlnx，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間和最小值點(diǎn)，考慮數(shù)列{a_n}中與最值點(diǎn)的距離，找出較小的即可．

解答 解：∵S_n=3a_n-2a₁，∴n=1時(shí)，a₁=3a₁-2a₁，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2a₁-（3a_n-1-2a₁），化為：a_n=$\frac{3}{2}$a_n-1．
∵a₃=$\frac{1}{4}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，a₁=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{9}$，
∴a_n=$\frac{1}{9}$×（$\frac{3}{2}$）^n-1，
由函數(shù)y=xlnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+lnx，
可得x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；
0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
即有函數(shù)y在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值．
而數(shù)列{a_n}遞增，且a₃=$\frac{1}{4}$；a₄=$\frac{3}{8}$，
由|a₃-$\frac{1}{e}$|＞|a₄-$\frac{1}{e}$|，
故數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)是第四項(xiàng)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列最小項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．