11.已知函數(shù)f(x)=lnx-x-lna,a為常數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2,且x1<x2,求a的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,證明:$\frac{x_1}{x_2}$的值隨a的值增大而增大.

分析 (1)求出函數(shù)的定義域,函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的零點個數(shù),推出結(jié)果.
(2)x1,x2是f(x)的兩個零點,通過lnx1-x1=lna,lnx2-x2=lna,則$a=\frac{x_1}{{{e^{x_1}}}},a=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}$,
設(shè)$g(x)=\frac{x}{e^x}$,$g'(x)=\frac{1-x}{e^x}$,利用g(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,利用函數(shù)g(x)圖象與直線y=a都有兩個交點.橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),結(jié)合函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的單調(diào)性以及存在性,推出結(jié)論.

解答 解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞).$f'(x)=\frac{1-x}{x}$,
由f'(x)>0得:0<x<1;由f'(x)<0得:x>1.
故f(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減.
要使f(x)有兩個零點,則f(1)>0,解得:$0<a<\frac{1}{e}$.…(5分)
(2)∵x1,x2是f(x)的兩個零點,∴l(xiāng)nx1-x1=lna,lnx2-x2=lna,則$a=\frac{x_1}{{{e^{x_1}}}},a=\frac{x_2}{{{e^{x_2}}}}$,.
設(shè)$g(x)=\frac{x}{e^x}$,$g'(x)=\frac{1-x}{e^x}$,所以g(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,故對任意$a∈(0,\frac{1}{e})$,函數(shù)g(x)圖象與直線y=a都有兩個交點.橫坐標(biāo)分別為x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),如下圖:
…(9分)
任取${a_1},{a_2}∈(0,\frac{1}{e})$,設(shè)a1<a2,則有g(shù)(ξ1)=g(ξ2)=a1,0<ξ1<1<ξ2,g(η1)=g(η2)=a2,0<η1<1<η2,由a1<a2得:g(ξ1)<g(η1),∵g(x)在(0,1)上遞增,∴ξ1<η1,同理得:ξ2>η2,所以$\frac{ξ_1}{ξ_2}<\frac{η_1}{η_2}$,
故$\frac{x_1}{x_2}$的值隨a的值增大而增大.…(12分)

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,構(gòu)造法以及函數(shù)的圖象的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.難度比較大.

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(Ⅰ)當(dāng)r=1時,
(i)若橢圓E的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求橢圓E的方程;
(ii)當(dāng)點P在直線x+y=l上時,求直線F1P與F1Q的夾角;
(Ⅱ)當(dāng)r=r0時,若總有F1P⊥F1Q,猜想:當(dāng)a變化時,點P是否在某定直線上,若是寫出該直線方程(不必求解過程).

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(2)若直線y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$,(k>0)與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F,H,O是坐標(biāo)原點,且$\frac{2}{3}$≤$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$≤$\frac{3}{4}$時,求k的取值范圍.

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20.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$.
(Ⅰ)求證數(shù)列$\left\{{{a_n}+{2^n}}\right\}$是等比數(shù)列;
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