Question

6．已知點C為圓（x+1）²+y²=8的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A（1，0）和AP上的點M，滿足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）若直線y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$，（k＞0）與（1）中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且$\frac{2}{3}$≤$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$≤$\frac{3}{4}$時，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)、橢圓的定義即可得出．
（2）設(shè)F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由直線y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$，（k＞0）與橢圓聯(lián)立得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4k\sqrt{{k}^{2}+1}x+2{k}^{2}$=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量數(shù)量積結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．

解答 解：（1）由題意知MQ中線段AP的垂直平分線，
∴|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2$\sqrt{2}$＞|CA|=2，
∴點Q的軌跡是以點C，A為焦點，焦距為2，長軸為2$\sqrt{2}$的橢圓，b=1，
故點Q的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）設(shè)F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由直線y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$，（k＞0）與橢圓聯(lián)立得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4k\sqrt{{k}^{2}+1}x+2{k}^{2}$=0，
△=8k²＞0，x₁+x₂=-$\frac{4k\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{2}{3}$≤$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$≤$\frac{3}{4}$
即$\frac{1}{2}$≤k²≤1，
∵k＞0，∴解得$\frac{\sqrt{2}}{2}≤k≤1$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．