分析 (1)推導出PA⊥CD,AC⊥CD,由此能證明CD⊥平面PAC.
(2)取PD中點F,連結(jié)BE、EF、FC,推導出四邊形BEFC為平行四邊形,從而BE∥CF,由此能證明BE∥平面PCD.
(3)設(shè)G為AD的中點,連結(jié)CG,過G作GH⊥PD于H,連結(jié)CH,由三垂線定理得∠GHC是二面角A-PD-C的平面角,由此能求出二面角A-PD-C的余弦值.
解答 證明:(1)∵PA⊥底面ABCD,CD?底面ABCD,
∴PA⊥CD,
在底面ABCD中,∵∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC=$\frac{1}{2}AD$,
∴AC=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AD$,∴AC⊥CD,
∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.
(2)取PD中點F,連結(jié)BE、EF、FC,
則EF∥AD,且EF=$\frac{1}{2}AD$,
由已知∠ABC=∠BAD=90°,∴BC∥AD,
又BC=$\frac{1}{2}AD$,∴BC∥EF,且BC=EF,
∴四邊形BEFC為平行四邊形,∴BE∥CF,
∵BE?平面PCD,CF?平面PCD,
∴BE∥平面PCD.
解:(3)設(shè)G為AD的中點,連結(jié)CG,則CG⊥AD,
又∵平面ABCD⊥平面PAD,
∴CG⊥平面PAD,
過G作GH⊥PD于H,連結(jié)CH,
由三垂線定理得CH⊥PD,
∴∠GHC是二面角A-PD-C的平面角,
設(shè)AD=2,則PA=AB=CG=DG=1,DP=$\sqrt{5}$,
在△PAD中,$\frac{GH}{PA}=\frac{DG}{DP}$,∴GH=$\frac{1}{\sqrt{5}}$,
∴tan$∠GHC=\frac{CG}{GH}$=$\sqrt{5}$,cos$∠GHC=\frac{\sqrt{6}}{6}$.
∴二面角A-PD-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$.
點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | $\frac{\sqrt{2}}{5}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ | C. | $\frac{4}{5}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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