11.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a,0),點(diǎn)     Q(0,y0)在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上,且$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4,求y0的值.

分析 (1)由題意可知:焦點(diǎn)在x軸上,過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn),則a=2,b=1.c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$,離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;即可求得橢圓C的方程及離心率;
(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,由韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得中點(diǎn)M的坐標(biāo),分類(lèi),①當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4,得y0=±2$\sqrt{2}$.②當(dāng)k≠0時(shí),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-$\frac{2k}{1+4k2}$=-$\frac{1}{k}$(x+$\frac{8k2}{1+4k2}$).向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示.即可求得求得y0的值.

解答 解:(1)由題意得,橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn).
∴a=2,b=1.
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$;
又c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
(2)由(1)可知A(-2,0).
設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),直線(xiàn)l的斜率為k,則直線(xiàn)l的方程為y=k(x+2).
于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,
由方程組消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.
由-2x1=$\frac{16k2-4}{1+4k2}$,得x1=$\frac{2-8k2}{1+4k2}$.
從而y1=$\frac{4k}{1+4k2}$.
設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,
則M的坐標(biāo)為(-$\frac{8k2}{1+4k2}$,$\frac{2k}{1+4k2}$).
以下分兩種情況:
①當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸,于是$\overrightarrow{QA}$=(-2,-y0),$\overrightarrow{QB}$=(2,-y0).
由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4,得y0=±2$\sqrt{2}$.
②當(dāng)k≠0時(shí),線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為
y-$\frac{2k}{1+4k2}$=-$\frac{1}{k}$(x+$\frac{8k2}{1+4k2}$).
令x=0,解得y0=-$\frac{6k}{1+4k2}$.
由$\overrightarrow{QA}$=(-2,-y0),$\overrightarrow{QB}$=(x1,y1-y0).
$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-2x1-y0(y1-y0
=$\frac{-2?2-8k2?}{1+4k2}$+$\frac{6k}{1+4k2}$($\frac{4k}{1+4k2}$+$\frac{6k}{1+4k2}$)
=$\frac{4?16k4+15k2-1?}{?1+4k2?2}$=4,
整理得7k2=2,故k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$.所以y0=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$.
綜上,y0=±2$\sqrt{2}$或y0=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查韋達(dá)定理,中點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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