A. | $\frac{1}{2}{a^2}$ | B. | $\frac{1}{4}{a^2}$ | C. | $\frac{1}{8}{a^2}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{8}{a^2}$ |
分析 由已知得|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,|$\overrightarrow{AD}$|=a,$|\overrightarrow{AH}|$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a,$|\overrightarrow{AF}|=\frac{1}{2}a$,cos<$\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AF}$>=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,由此能求出$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AF}$的值.
解答 解:∵正四面體ABCD的棱長為a,點E,F(xiàn),H分別是BC,AD,AE的中點,
∴|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,|$\overrightarrow{AD}$|=a,$|\overrightarrow{AH}|$=a$\frac{\sqrt{3}}{4}$,$|\overrightarrow{AF}|=\frac{1}{2}a$,
∴cos<$\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AF}$>=$\frac{{|\overrightarrow{AE}|}^{2}{+|\overrightarrow{AD}|}^{2}-|{\overrightarrow{DE}|}^{2}}{2•|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}{2•\frac{\sqrt{3}}{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{AF}$=|$\overrightarrow{AH}$|•|$\overrightarrow{AF}$|•cos<$\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AF}$>=$\frac{\sqrt{3}}{4}a×\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{8}{a}^{2}$.
故選:C.
點評 本題考查向量的數(shù)量積的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意余弦定理和向量數(shù)量積公式的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | [1,2] | B. | [1,$\frac{3}{2}$] | C. | [$\frac{3}{2}$,2] | D. | [$\frac{3}{2}$,3] |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -1+2i | B. | -1-2i | C. | 1-2i | D. | 1+2i |
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