20.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x+2}{x-2}$.
(1)在下列坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向下平移一個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖象,點(diǎn)A是函數(shù)g(x)圖象的上一點(diǎn),B(4,-2),求|AB|的最小值.

分析 (1)因?yàn)?f(x)=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$,故把函數(shù)y=$\frac{4}{x-2}$的圖象向上平移1個(gè)單位,可得函數(shù)$f(x)=\frac{x+2}{x-2}$的圖象,如圖所示.
(2)計(jì)算|AB|2=${[{({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})}]^2}-4[{({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})}]+16$,令$({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})=t$,可得|AB|2=t2-4t+16,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值.

解答 解:(1)因?yàn)?f(x)=\frac{x+2}{x-2}=1+\frac{4}{x-2}$,故把函數(shù)y=$\frac{4}{x-2}$的圖象向上平移1個(gè)單位,
可得函數(shù)$f(x)=\frac{x+2}{x-2}$的圖象,故函數(shù)$f(x)=\frac{x+2}{x-2}$的大致圖象如圖所示:

(2)依題意,函數(shù)$g(x)=\frac{4}{x-2}$,設(shè)$A({{x_0},\frac{4}{{{x_0}-2}}})$,因?yàn)锽(4,-2),
故${|{AB}|^2}={({{x_0}-4})^2}+{({\frac{4}{{{x_0}-2}}+2})^2}={({{x_0}-2})^2}-4({{x_0}-2})+4+{({\frac{4}{{{x_0}-2}}})^2}+\frac{16}{{{x_0}-2}}+4$=${[{({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})}]^2}-4[{({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})}]+16$,
令$({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})=t$,故|AB|2=t2-4t+16=(t-2)2+12≥12,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí),
此時(shí)方程$({{x_0}-2})-({\frac{4}{{{x_0}-2}}})=2$有解,|AB|2取得最小值為12,故|AB|的最小值為$2\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的性質(zhì),求函數(shù)的最值,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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學(xué)生ABCDE
數(shù)學(xué)8075706560
物理7066686462
(1)試求這次高一數(shù)學(xué)成績和物理成績間的線性回歸方程.
(2)若小紅這次考試的數(shù)學(xué)成績是52分,你估計(jì)她的物理成績是多少分呢?供參考的數(shù)據(jù):80×70+75×66+70×68+65×64+60×62=23190;802+752+702+652+602=24750.

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8.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且c=4$\sqrt{2}$,B=$\frac{π}{4}$,面積S=2,則b等于( 。
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