6.如圖,平行四邊形ABCD中,點E在線段AD上,BE與AC交于點F,設(shè)$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$.
(I)若E為AD的中點,用向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow$表示$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}$;
(II)用向量的方法探究:在線段AD上是否存在點E,使得點F恰好為BE的一個三等分點,若有,求出滿足條件的所有點E的位置;若沒有,說明理由.

分析 (1)根據(jù)向量的線性運算,用向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow$分別表示出$\overrightarrow{CE}$,$\overrightarrow{BE}$.
(2)根據(jù)F的位置結(jié)合向量共線進(jìn)行分類討論,聯(lián)立方程組求解.

解答 (本小題滿分12分)
解:(I)$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AD}=b$.
∴$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$=$-\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$,…(2分)
$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=$-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$,…(4分)
∴$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{BE}=-2\overrightarrow{a}$;…(6分)
(II)不妨設(shè)在線段AD上有滿足條件的點E,則$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow$(0≤λ≤1)
(1)若$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BE}$,則$\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow)$,
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow$…(7分)
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$,
且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AF}$是共線向量,則$\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$
∴$\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow=μ(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)$…(8分)
∵$\overrightarrow{a},\overrightarrow$是不共線的向量,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}=μ}\\{\frac{1}{3}λ=μ}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=2}\\{μ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
此時λ=2與0≤λ≤1矛盾,舍去;…(9分)
(2)若$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$,則$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}(-\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow)$,
∴$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}λ\overrightarrow$…(10分)
又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow$,
且$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AF}$是共線向量,則$\overrightarrow{AF}=μ\overrightarrow{AC}$
∴$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}λ\overrightarrow=μ(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)$…(11分)
∵$\overrightarrow{a},\overrightarrow$是不共線的向量,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}=μ}\\{\frac{2}{3}λ=μ}\end{array}\right.$,∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}}\\{μ=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$
此時滿足0≤λ≤1,
故滿足條件的點E是存在的,它是線段AD的中點.…(12分)

點評 考查平面向量基本定理,平面向量線性運算,共線問題.考查分類討論思想.根據(jù)向量共線構(gòu)造方程組,是解決問題的關(guān)鍵.屬于難題.

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