Question

8．已知邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$的菱形ABCD中，∠A=60°，現(xiàn)沿對(duì)角線BD折起，使得AC=3$\sqrt{3}$，此時(shí)點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（　　）

• A． 20π
• B． 24π
• C． 28π
• D． 32π

Answer 1

分析 正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．

解答 解：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連接AF，CF，則AF=CF=3，
∵AC=3$\sqrt{3}$，
∴∠AFC=120°，∠AFE=60°，
∴AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{3}{2}$
設(shè)OO′=x，則
∵O′B=2，O′F=1，
∴由勾股定理可得R²=x²+4=（$\frac{3}{2}$+1）²+（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-x）²，
∴R²=7，
∴四面體的外接球的表面積為4πR²=28π，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四面體的外接球的半徑是關(guān)鍵．