20.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為$(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)$,點(diǎn)$A(\sqrt{2},\frac{{\sqrt{3}}}{3})$在橢圓C上,直線y=t與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P
(1)求橢圓C的方程
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標(biāo)
(3)設(shè)Q(x,y)是圓P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)t變化時(shí),求y的最大值.

分析 (1)由已知列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組得a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)由已知可得P的坐標(biāo),根據(jù)圓P與x軸相切求得x,則圓的半徑的表達(dá)式可得,進(jìn)而求得t,則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得;
(3)由(2)知圓P的方程,把點(diǎn)Q代入圓的方程,求得y和t的關(guān)系,設(shè)t=cosθ,利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理,再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值.

解答 解:(1)由題意可得:$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{3^{2}}=1}\end{array}\right.$,解得a2=3,b2=1.
∴橢圓C的方程為:$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$;
(2)由題意知p(0,t)(-1<t<1),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=t}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$,得x=±$\sqrt{3(1-{t}^{2})}$,∴圓P的半徑為$\sqrt{3(1-{t}^{2})}$,
則有t2=3(1-t2),
解得t=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,±$\frac{\sqrt{3}}{2}$);
(3)由(2)知,圓P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2).
∵點(diǎn)Q(x,y)在圓P上.∴y=t±$\sqrt{3(1-{t}^{2})-{x}^{2}}$≤t+$\sqrt{3(1-{t}^{2})}$,
設(shè)t=cosθ,θ∈(0,π),則t+$\sqrt{3(1-{t}^{2})}$=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin(θ+$\frac{π}{6}$),
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$,即t=$\frac{1}{2}$,且x=0時(shí),y取最大值2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,是中檔題.

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