【題目】已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點.
(1)求橢圓長半軸長;
(2)求最大值;
(3)若直線分別與軸交于點,求證:的面積與的面積的乘積為定值.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)橢圓過點得到的值,結(jié)合離心率得到的值,得到答案;
(2)根據(jù)橢圓的幾何特點,得到與軸重合時,最大,從而得到答案;
(3)根據(jù)對稱性設(shè),,表示出直線、,得到、坐標(biāo),從而表示出的面積與的面積,得到面積的乘積為定值.
(1)因為橢圓過點,所以,
因為離心率為,所以,
而,所以,
所以求橢圓長半軸長為;
(2)由(1)可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
過原點的直線與橢圓有兩個不同的交點,
可知當(dāng)為長軸時候最長,
此時.
(3)由對稱性可知、兩點關(guān)于原點對稱,
所以設(shè),則,
不妨假設(shè),
則直線的方程為,
令,得到,
所以,
同理,
所以,
所以
而在橢圓上,所以,即,
所以.
所以的面積與的面積的乘積為定值.
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【題目】甲乙二人輪流擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,甲先擲.規(guī)定:若甲擲出1點,則由甲繼續(xù)擲,否則下一次由乙擲;若乙擲出3點,則由乙繼續(xù)擲,否則下一次由甲擲,兩人始終按此規(guī)則進(jìn)行.記第次由甲擲的概率為,則______,______.
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【題目】如圖,在棱長為1的正四面體ABCD中,M,N分別為棱AB和CD的中點,一個平面分別與棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MN⊥平面EFGH.給出下列六個結(jié)論:①AC⊥BD,②AB//平面EFGH,③平面ABC⊥平面EFGH,④四邊形EFGH的周長為定值;⑤四邊形EFGH的面積有最大值;⑥四邊形EFGH一定是矩形,其中,所有正確結(jié)論的序號是_____.
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為菱形,且是等邊三角形,點是側(cè)面內(nèi)的一個動點,且滿足,則點所形成的軌跡長度是_______.
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【題目】己知一個動點M在圓上移動,它與定點所連線段的中點為P.
(1)求點P的軌跡方程.
(2)過定點的直線與點P的軌跡交于A,B兩點,求弦AB的中點C的軌跡.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求在上的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)時,證明:在上存在最小值.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,BDD1B1為矩形,平面BDD1B1⊥平面ABCD,又AB=AD=BB1=1,CD=2.
(1)證明:CB1⊥AD1;
(2)求B1到平面ACD1的距離.
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【題目】的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,若,,且,則下列選項不一定成立的是( )
A.B.的周長為
C.的面積為D.的外接圓半徑為
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