Question

17．已知，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為B₂、B₁，左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為F、A₁．經(jīng)過點(diǎn)B₂的直線l與以橢圓的中心為頂點(diǎn)、B₂為焦點(diǎn)的拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B₂恰為線段AB的三等分點(diǎn)，直線l₁過點(diǎn)B₁且垂直于y軸，線段AB的中點(diǎn)M到直線l₁的距離為$\frac{9}{4}$．若$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=1-2$\sqrt{3}$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1

Answer 1

分析 由拋物線的定義可知：丨AA′丨=丨AB₂丨，丨BB′丨=丨BB₂丨，丨AB丨=丨AB₂丨+丨BB₂丨，則丨AB丨=2丨MN丨=$\frac{9}{2}$，由點(diǎn)B₂恰為線段AB的三等分點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得丨B₁B₂丨=2，即2b=2，b=1，B₂（0，1），F(xiàn)（-c，0），A₁（a，0），由$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=1-2$\sqrt{3}$，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，a²c²=12，由c²=a²-b²=a²-1，代入即可求得a的值，求得橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可知：線段AB的中點(diǎn)M到直線l₁的距離為$\frac{9}{4}$，
由拋物線的定義可知：丨AA′丨=丨AB₂丨，丨BB′丨=丨BB₂丨，
∴丨AB丨=丨AB₂丨+丨BB₂丨，
∴丨AB丨=2丨MN丨=$\frac{9}{2}$，
由點(diǎn)B₂恰為線段AB的三等分點(diǎn)，
∴丨AA′丨=丨AB₂丨=$\frac{3}{2}$，丨BB′丨=丨BB₂丨=3，
由相似三角形的性質(zhì)可知：丨B₁B₂丨=2，即2b=2，b=1，
則B₂（0，1），F(xiàn)（-c，0），A₁（a，0），
$\overrightarrow{F{B}_{2}}$=（c，1），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=（-a，1），
$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=-ac+1，
由$\overrightarrow{F{B}_{2}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{2}}$=1-2$\sqrt{3}$，則ac=2$\sqrt{3}$，a²c²=12，
由橢圓的性質(zhì)可知：c²=a²-b²=a²-1，
代入可知：a²（a²-1）=12，整理得：a⁴-a²-12=0，
解得：a²=4，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓及拋物線性質(zhì)的簡單應(yīng)用，考查相似三角形的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于難題．