Question

20．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）圖象既關(guān)于直線x=1對(duì)稱，又關(guān)于直線x=5對(duì)稱，且當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，有f′（x）＞3f（x），則下列各式成立的是（　�。�

• A． e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＜f（-19）
• B． e³f（-14）＞f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
• C． e³f（-14）＜f（-5），e³f（-10）＞f（-19）
• D． e³f（-14）＞f（-4），e³f（-10）＜f（-19）

Answer 1

分析 造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{3x}}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g（x）在[1，5]上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的單調(diào)性得到g（5）＞g（4）＞g（3）＞g（3），化簡(jiǎn)即可得到．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{3x}}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）-3f（x）}{{e}^{3x}}$，
∵當(dāng)x∈[1，5]時(shí)，有f′（x）＞3f（x），
∴g′（x）＞0，在x∈[1，5]上恒成立，
∴g（x）在[1，5]上單調(diào)遞增，
∵f（x）圖象既關(guān)于直線x=1對(duì)稱，又關(guān)于直線x=5對(duì)稱，
∴f（x）=f（x+2），f（x）=f（x+10），
∴f（-14）=f（-14+20）=f（6）=f（6-2）=f（4），f（-5）=f（-5+10）=f（5），
f（-10）=f（-10+10）=f（0+2）=f（2），
f（-4）=f（-4+10）=f（6）=f（6-2）=f（4），
f（-19）=f（-19+10）=f（-9）=f（-9+2）=f（-7）=f（-7+10）=f（3），
∴g（5）＞g（4）＞g（3）＞g（3），
∴$\frac{f（5）}{{e}^{15}}$＞$\frac{f（4）}{{e}^{12}}$＞$\frac{f（3）}{{e}^{9}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{6}}$，
∴$\frac{f（-5）}{{e}^{15}}$＞$\frac{f（-14）}{{e}^{12}}$=$\frac{f（-4）}{{e}^{12}}$＞$\frac{f（-19）}{{e}^{9}}$＞$\frac{f（-10）}{{e}^{6}}$，
∴e³f（-10）＜f（-19），e³f（-14）＜f（-5），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的對(duì)稱性以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于難題．