Question

15．已知函數g（x）=xe^（2-a）x（a∈R），e為自然對數的底數．
（1）討論g（x）的單調性；
（2）若函數f（x）=lng（x）-ax²的圖象與直線y=m（m∈R）交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，證明：f'（x₀）＜0．（f'（x）為函數f（x）的導函數）．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）利用函數零點的性質，結合函數單調性和導數之間的關系，構造函數，利用導數進行轉化即可證明不等式．

解答 解：（1）由題可知，g'（x）=e^（2-a）x+xe^（2-a）x（2-a）=e^（2-a）x[（2-a）x+1]．
①當a＜2時，令g'（x）≥0，則（2-a）x+1≥0，∴$x≥\frac{1}{a-2}$，令g'（x）＜0，則（2-a）x+1＜0，∴$x＜\frac{1}{a-2}$．
②當a=2時，g'（x）＞0．
③當a＞2時，令g'（x）≥0，則（2-a）x+1≥0，∴$x≤\frac{1}{a-2}$，令g'（x）＜0，則（2-a）x+1＜0，∴$x＞\frac{1}{a-2}$，
綜上，①當a＜2時，y=g（x）在$（{-∞，\frac{1}{a-2}}）$上單調遞減，在$[{\frac{1}{a-2}，+∞}）$上單調遞增；
②當a=2時，y=g（x）在R上單調遞增；
③當a＞2時，y=g（x）在$（{-∞，\frac{1}{a-2}}）$上單調遞增，在$[{\frac{1}{a-2}，+∞}）$上單調遞減．
（2）因為f（x）=ln（xe^（2-a）x）-ax²=lnx+（2-a）x-ax²（x＞0），
所以$f'（x）=\frac{1}{x}+（{2-a}）-2ax=-\frac{{（{2x+1}）（{ax-1}）}}{x}$，
當a≤0時，f'（x）＞0，y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增，與x軸不可能有兩個交點，故a＞0．
當a＞0時，令f'（x）≥0，則$0＜x≤\frac{1}{a}$；令f'（x）＜0，則$x＞\frac{1}{a}$．
故y=f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}]$上單調遞增，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上單調遞減．
不妨設A（x₁，m），B（x₂，m），且$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}＜{x_2}$．
要證f'（x₀）＜0，需證ax₀-1＞0，即證${x_0}＞\frac{1}{a}⇒{x_1}+{x_2}＞\frac{2}{a}⇒{x_2}＞\frac{2}{a}-{x_1}⇒f（{x_2}）＜f（{\frac{2}{a}-{x_1}}）$，
又f（x₁）=f（x₂），
所以只需證$f（{x_1}）＜f（{\frac{2}{a}-{x_1}}）$．即證：當$0＜x＜\frac{1}{a}$時，$f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）＞0$．
設$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）=ln（{2-ax}）-ln（{ax}）+2ax-2$，
則$F'（x）=-\frac{2}{2-ax}-\frac{1}{x}+2a=-\frac{{2{{（{ax-1}）}^2}}}{{x（{2-ax}）}}＜0$，
所以$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）$在$（{0，\frac{1}{a}}）$上單調遞減，
又$F（{\frac{1}{a}}）=f（{\frac{2}{a}-\frac{1}{a}}）-f（{\frac{1}{a}}）=0$，
故$F（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）-f（x）＞0$．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系和應用，綜合性較強，運算量較大，屬于中檔題．