Question

19．已知橢圓C的一個焦點為$（0，\sqrt{3}）$，且經過點$P（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知A（1，0），直線l與橢圓C交于M，N兩點，且AM⊥AN；
（�。┤魘AM|=|AN|，求直線l的方程；
（ⅱ）若AH⊥MN于H，求點H的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓C為：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，c=$\sqrt{3}$，將點$P（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）（�。┊攍⊥x軸時，設l：x=m，代入橢圓得$y=±2\sqrt{1-{m^2}}$，求得∵$|MN|=4\sqrt{1-{m^2}}=2（1-m）$，$m=-\frac{3}{5}$，當l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=kx+m代入橢圓方程，求得${x_0}=-\frac{km}{{4+{k^2}}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{4m}{{4+{k^2}}}$，由|AM|=|AN|，得AQ⊥MN，則k_AQ•k=-1，求得3km=k²+4（*）．由AM⊥AN，得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}=0$，代入即可求得m的值，求得k，即可求得直線l的方程；
（ⅱ）當直線l與x軸不垂直時，由（Ⅰ）知，AM⊥AN時，m=-k或$m=\frac{3}{5}k$，當l⊥x軸時，直線l的方程為$x=-\frac{3}{5}$，也過定點$Q（-\frac{3}{5}，0）$．
，點H的軌跡就是以AQ為直徑的圓，但不含A點，點H的軌跡方程為${（x-\frac{1}{5}）^2}+{y^2}=\frac{16}{25}（x≠1）$．

解答 解：（1）由橢圓C的一個焦點為$（0，\sqrt{3}）$，焦點在y軸上，設橢圓C為：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∵橢圓C過點$P（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$，且一個焦點為$（0，\sqrt{3}）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=3+{b^2}}\\{\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=1}\end{array}}\right.$．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（2）（Ⅰ）當l⊥x軸時，設l：x=m，
代入橢圓得$y=±2\sqrt{1-{m^2}}$，
∵$|MN|=4\sqrt{1-{m^2}}=2（1-m）$，解得m=1（舍去）或$m=-\frac{3}{5}$，
∴直線l方程為$x=-\frac{3}{5}$．
當l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=kx+m．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{y^2}{4}+{x^2}=1}\end{array}}\right.$，整理得：（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0．
△=4k²m²-4（4+k²）（m²-4）＞0，解得：k²+4＞m²．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點為Q（x₀，y₀）．
則${x_1}+{x_2}=-\frac{2km}{{4+{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{4+{k^2}}}$，
∴${x_0}=-\frac{km}{{4+{k^2}}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{4m}{{4+{k^2}}}$，
由|AM|=|AN|，得AQ⊥MN，則k_AQ•k=-1，
化簡得3km=k²+4（*）．
由AM⊥AN，得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}=0$，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化簡得：$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（km-1）（{x_1}+{x_2}）+1+{m^2}=0$．
∴$\frac{{（1+{k^2}）（{m^2}-4）}}{{4+{k^2}}}-\frac{2km（km-1）}{{4+{k^2}}}+1+{m^2}=0$，
化簡得5m²+2km-3k²=0，解得m=-k或$m=\frac{3}{5}k$．
當m=-k時，（*）式不成立．
當$m=\frac{3}{5}k$時，代入（*）式，得k²=5，$k=±\sqrt{5}$．
∴直線l的方程為$y=\sqrt{5}x+\frac{3}{5}\sqrt{5}$或$y=-\sqrt{5}x-\frac{3}{5}\sqrt{5}$．
綜上所述，直線l的方程為$\sqrt{5}x+y+\frac{3}{5}\sqrt{5}=0$或$\sqrt{5}x-y+\frac{3}{5}\sqrt{5}=0$，或$x=-\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）當直線l與x軸不垂直時，由（Ⅰ）知，AM⊥AN時，m=-k或$m=\frac{3}{5}k$．
當m=-k時，直線l為y=k（x-1）過點A（1，0），矛盾，故舍去．
當$m=\frac{3}{5}k$時，直線l為$y=k（x+\frac{3}{5}）$，且過定點$Q（-\frac{3}{5}，0）$．
當l⊥x軸時，直線l的方程為$x=-\frac{3}{5}$，也過定點$Q（-\frac{3}{5}，0）$．
∴點H的軌跡就是以AQ為直徑的圓，但不含A點，
∴點H的軌跡方程為${（x-\frac{1}{5}）^2}+{y^2}=\frac{16}{25}（x≠1）$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式，弦長公式的應用，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于難題．