1．集合的真子集的個數(shù)為                            （   ）

A．3             B．4              C．7               D．8

2．復(fù)數(shù)（）²（其中i為虛數(shù)單位）的虛部等于                          （   ）

A．－i           B．1              C．－1             D．0

3．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則實數(shù)的值為    (   )

A．2            B．1              C．0               D．3

4. 已知展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為64，則展開式中的常數(shù)項等于                                                     (   )

A.  135               B.  270                     C.  540               D.  1215

5．下面四個命題：

　�、佟爸本�a∥直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；

②“直線⊥平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“⊥平面”；

③“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”；

④“平面∥平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點到的距離相等”；

其中正確命題的序號是                                                 (   )

    A．①②          B．②③            C．③④           D．②④

6．已知，則   （   ）

       A．2         B．            C．1                          D．0

7．已知O，A，B，C是不共線的四點，若存在一組正實數(shù)，，，使＋＋= ，則三個角∠AOB，∠BOC，∠COA                          （   ）

A．都是銳角     B．至多有兩個鈍角  C．恰有兩個鈍角    D．至少有兩個鈍角。

8．由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，所得的數(shù)是大于20000的偶數(shù)的概率為                                                                 （   ）

A．          B．             C．             D．

9．雙曲線 －＝1的左右焦點分別為F₁ ?F₂，在雙曲線上存在點P，滿足?PF₁?＝5?PF₂?。則此雙曲線的離心率e的最大值為                              （   ）

A．            B．             C．             D．2

10．f (x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù) ，且滿足 ，對任意的正數(shù)

a ?b ，若a ＜ b，則必有                                             （   ）

A．a(chǎn) f (a)≤b f (b)   B．a(chǎn) f (a)≥b f (b)    C．a(chǎn) f (b)≤b f (a)    D．a(chǎn) f (b)≥b f (a)

11．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O (0,0), M (1,), N (0,1), Q (2,3), 動點P (x,y)滿足：

0≤≤1,0≤≤1,則的最大值為＿＿＿＿＿．

12．已知函數(shù)y=f(x),x∈[－1，1]的圖象是由以原點為圓心的兩段圓弧及原點構(gòu)成（如圖所示）, 則不等式的的解集為       

13．已知＝1，則＝＿＿＿＿＿．

14．若兩條異面直線所成的角為60⁰，則稱這對異面直線為“理想異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“理想異面直線對”的對數(shù)為＿＿＿＿＿．

15．已知拋物線的方程為，直線與拋物線交于A,B兩點，且以弦AB

為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則弦AB的中點的軌跡方程為                  ；當(dāng)直線的傾斜角為時，圓的半徑為              ．

16．（本小題滿分12分）

已知向量a＝(cos, sin), b＝(cos,－ sin), 且x∈[0, ].

(1) 求a?b及?a＋b?；

(2)若f (x)= a?b－2?a＋b?的最小值為－7, 求實數(shù)的值.

17．（本小題滿分12分）

某公司科研部研發(fā)了甲?乙兩種產(chǎn)品的新一代產(chǎn)品，在投產(chǎn)上市前，每種新一代產(chǎn)品都要經(jīng)過第一和第二兩項技術(shù)指標(biāo)檢測，兩項技術(shù)指標(biāo)的檢測結(jié)果相互獨立，每項技術(shù)指標(biāo)的檢測結(jié)果都均有A ，B兩個等級，對每種新一代產(chǎn)品，當(dāng)兩項技術(shù)指標(biāo)的檢測結(jié)果均為A級時，才允許投產(chǎn)上市，否則不能投產(chǎn)上市。

(1)已知甲?乙兩種新一代產(chǎn)品的每一項技術(shù)指標(biāo)的檢測結(jié)果為A級的概率如下表所示，分別求出甲?乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市的概率P_甲?P_乙；

第一項技術(shù)指標(biāo)

第二項技術(shù)指標(biāo)

甲

0.8

0.85

乙

0.75

0.8

(2)若甲?乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市，可分別給公司創(chuàng)造100萬元?150萬元的利潤；否則將分別給公司造成10萬元?20萬元的損失，在1）的條件下，用?分別表示甲?乙兩種新一代產(chǎn)品的研發(fā)給公司創(chuàng)造的利潤，求?的分布列及E?E.

18．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D為棱BB₁上一點，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C.

1）求證：D點為棱BB₁的中點；

2）若二面角A －A₁D － C的平面角為60⁰，求的值。

19．（本小題滿分13分）設(shè)正項數(shù)列｛｝的前項和為S_n，q為非零常數(shù)。已知對任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n ＞ m時，總成立。

1）求證數(shù)列｛｝是等比數(shù)列；

2）若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，求證： ＋≥。

20．（本小題滿分13分）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。

1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率K_ON ；

2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（∈R）使等式：

＝cos＋sin成立。

21．（本小題滿分13分）

我們知道：函數(shù)y＝f (x)如果存在反函數(shù)y＝f ^-1 (x)，則y＝f (x)的圖像與y＝f ^-1 (x)圖像關(guān)于直線y＝x對稱。若y＝f (x)的圖像與y＝f ^-1 (x)的圖像有公共點，其公共點卻不一定都在直線y＝x上；例如函數(shù)f (x)＝。

（1）若函數(shù)y＝f (x)在其定義域上是增函數(shù)，且y＝f (x)的圖像與其反函數(shù)y＝f ^-1 (x)的圖像有公共點，證明這些公共點都在直線y＝x上；

（2）對問題：“函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax的圖像有多少個公共點？”有如下觀點：

觀點①：“當(dāng)a＞1時兩函數(shù)圖像沒有公共點，只有當(dāng)0＜a＜1時兩函數(shù)圖像才有公共點”。

觀點②：“利用（1）中的結(jié)論，可先討論函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x的公共點的個數(shù)，為此可構(gòu)造函數(shù)F (x)＝a ^x－x(a＞1)，然后可利用F (x)的最小值進(jìn)行討論”。

請參考上述觀點，討論函數(shù)f (x)＝a^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像公共點的個數(shù)。

數(shù)學(xué)試卷（理科）參考解答    

題序

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

C

A

C

D

B

D

B

B

C

11.  4.    12.  [－1,－ )∪(0, )..      13.  。       14.  24.  

  15. （3分）、（2分）。

16.解：（1）∵ a = (cos, sin), b = (cos,－ sin)

          ∴ a?b ＝cos cos＋sin（－ sin）＝cos cos－sin sin

＝cos（＋）＝cos2x                             ………3分

又易知：?a?＝1,?b?＝1     ∴?a＋b?² ＝ a ²＋b ²＋2 a?b

 ＝1＋1＋2 cos2x＝4cos²x ，且x∈[0, ],

∴?a＋b?＝2cosx.                                         ………6分

（2)  f (x)＝ a?b－2?a＋b?

＝cos2x－2(2cosx)

＝2cos²x－4cosx － 1

＝2(cosx－)²－2²－1                               ………8分

若＜0，當(dāng)cosx＝0時，f (x)取得最小值－1，不合題意；

若＞1，當(dāng)cosx＝1時，f (x)取得最小值1－4，由題意有1－4＝－7，得＝2；

若0≤≤1，當(dāng)cosx＝時，f (x)取得最小值－2²－1，由題意有－2²－1＝－7，得＝±(舍去)。

綜上所述：＝2。                                                ………12分

17．解：    1）由題意有：   P_甲 ＝ 0.8×0.85＝ 0.68 ；                 ………3分

P_乙 ＝ 0.75×0.8＝ 0.6 。                  ………6分

2）隨機(jī)變量?的分布列分別是：

100

－10

P

0.68

0.32

150

－20

P

0.6

0.4

………9分

E ＝ 100×0.68＋（－10）×0.32 ＝ 64.8 ；

E ＝ 150×0.6＋（－20）×0.4 ＝ 82 。                  ………12分

18．解：    1）過點D作DE ⊥ A₁ C 于E點，取AC的中點F，連BF ?EF。

∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C內(nèi)的直線DE ⊥ A₁ C

∴直線DE⊥面AA₁C₁C                                              ………3分

又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，

∴BF⊥面AA₁C₁C

由此知：DE∥BF ，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，

又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，從而有EF∥AA₁，

又點F是AC的中點，所以DB ＝ EF ＝  AA₁ ＝  BB₁，

所以D點為棱BB₁的中點；                                         ………6分

2）解法1：延長A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，

過B作BH⊥A₁ G于點H，連CH，由三垂線定理知：A₁ G⊥CH，

由此知∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角；                     ………9分

設(shè)AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝；

在直角三角形A₁A G中，易知 AB ＝ BG。

在直角三角形DB G中，BH ＝  ＝ ，

在直角三角形CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，

據(jù)題意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：，

所以 ＝ 。                                               ………12分

2）解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁ ＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，

則D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)

        所以，                            ………8分

設(shè)面DA₁C的法向量為

則 

可取

又可取平面AA₁DB的法向量

cos〈〉         ………10分

        據(jù)題意有：，解得： ＝           ………12分

說明：考生的其他不同解法，請參照給分。

19．解：  1）因為對任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n ＞ m時，總成立。

所以當(dāng)≥2時：，即，且也適合，又＞0，

故當(dāng)≥2時：（非零常數(shù)），即｛｝是等比數(shù)列。           ………5分

2）若，則。所以

≥。          ………7分

若，則，，。     ………8分

所以≥。                   ………10分

又因為

≤。所以

≥≥。

綜上可知：若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，不等式 ＋≥總成立。

當(dāng)且僅當(dāng)時取“＝”。                                     ………13分

20．解：  1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因為，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：      ①                     ………2分

易知右焦點F的坐標(biāo)為（），

據(jù)題意有AB所在的直線方程為：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

設(shè)，弦AB的中點，由③及韋達(dá)定理有：

所以，即為所求。                                    ………5分

2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點的坐標(biāo)有：

，所以

。                                   ………7分

又點在橢圓C上，所以有整理為。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A?B在橢圓上，故有                ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

對于橢圓上的每一個點，總存在一對實數(shù)，使等式成立，而

在直角坐標(biāo)系中，取點P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。

也就是：對于橢圓C上任意一點M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                 ………13分

21．解； 1）設(shè)點M（x₀, y₀）是函數(shù)y ＝ f (x)的圖像與其反函數(shù)y ＝ f ^-1 (x)的圖像的公

點，則有：y₀＝f (x₀) ，                                    

y₀ ＝ f ^-1 (x₀)，據(jù)反函數(shù)的意義有：x₀ ＝ f (y₀)。                        ………2分

所以：y₀ ＝ f (x₀)且同時有x₀ ＝ f (y₀)。

若x₀ ＜ y₀ ，因為函數(shù)y ＝ f (x) 是其定義域上是增函數(shù)，

所以有：f (x₀) ＜ f (y₀) ，即y₀ ＜ x₀ 與 x₀ ＜ y₀矛盾，這說明x₀ ＜ y₀是錯誤的。

同理可證x₀ ＞ y₀也是錯誤的。

所以x₀ ＝ y₀ ，即函數(shù)y ＝ f (x)的圖像與其反函數(shù)y ＝ f ^-1 (x)的圖像有公共點在直線y ＝ x上；                                                        ………5分

2）構(gòu)造函數(shù)F (x)＝a ^x－x(a＞1)

因為F′ (x)＝ a ^xlna － 1（a ＞ 1），                               ………6分

令F′ (x)＝ a ^xlna － 1≥0，

解得：x ≥。

所以當(dāng)x ≥時：F′ (x)≥0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)x ≤時：F′ (x)≤0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是減函數(shù)。

所以F (x)的最小值為F (x)_min＝F ()＝－。………9分

令－＞0，解得：a ＞。

故當(dāng)a＞時：F (x)_min ＝F ()＞0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0無實數(shù)解，這說明函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x沒有公共點；           ………10分

  當(dāng)a＝時：F (x)_min ＝F ()＝F (e)＝0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有唯一實數(shù)解x ＝＝e。這說明函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x有唯一公共點；                                                     ………11分

當(dāng)a＜時：F (x)_min ＝F ()＜0，所以方程F (x)＝a ^x－x ＝0有兩相異的實數(shù)解（設(shè)＜)。

又因為當(dāng)x → -∞或x → +∞時有F (x) → +∞，且F (0)＝1，所以據(jù)函數(shù)

F (x)＝a ^x－x(a＞1)的單調(diào)性可知：-∞＜0＜＜＜＜+∞，這說明函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)的圖像與直線y＝x有兩不同的公共點個公共點。      ………12分

綜上所述：

當(dāng)a＞時: 函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像沒有公共點；

當(dāng)a ＝時：函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像有唯一公共點；

當(dāng)1＜a＜時:函數(shù)f (x)＝a ^x (a＞1)與其反函數(shù)f ^-1 (x)＝log_ax圖像有兩個不同的公共點。                                                             ………13分