1．集合（其中i為虛數(shù)單位），，且，則實(shí)數(shù)的值為  (    )

A．              B．            C．或          D．

2．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)調(diào)查，則高二年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生數(shù)為（    ）

A．180              B．240             C．480             D．720

3．在邊長(zhǎng)為1的等邊中，設(shè)，則（    ）

   A．           B．0          C．          D．3

4．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，

俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（     ）

A．      B．   C．      D．

5．下列命題錯(cuò)誤的是（     ）

A．命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題為：“若方程無(wú)實(shí)根，則”。

B．“”是“”的充分不必要條件。

C．命題“若，則中至少有一個(gè)為零”的否定是：“若，則都不為零”。

D．對(duì)于命題，使得；則是，均有。

6．直線與圓的位置關(guān)系是（    ）

   A．相離          B．相交           C．相切            D．不確定

7．設(shè)集合，分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)和，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)，記“點(diǎn)落在直線上”為事件，若事件的概率最大，則的可能值為（    ）

A．3                    B．4                     C．2和5               D．3和4

8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)閇―2，，部分對(duì)應(yīng)值如下表，為的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如右圖所示：

   ―2

   0

4

1

―1

1

若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是（    ）

A．         B．           C．          D．

第Ⅱ卷  非選擇題（共110分）

9. 已知，若，,則      。

10.已知流程圖如右圖所示，該程序運(yùn)行后，為使輸出的值為，則循環(huán)體的判斷框內(nèi)①處應(yīng)填           。

11. 以、為焦點(diǎn)的橢圓＝１（）上

一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)最大時(shí)的正切值為2，

則此橢圓離心率e的大小為      。

12. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則過點(diǎn)和N^*)的直線的斜率是__________。

（★請(qǐng)考生在以下三個(gè)小題中任選做二題作答，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．）

13．極坐標(biāo)系中，曲線和相交于點(diǎn)，則＝　　　　　　．

14．函數(shù)的最大值是         。

15．如圖，已知：內(nèi)接于，點(diǎn)在

的延長(zhǎng)線上，是⊙的切線，若，

，則的長(zhǎng)為         。

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的周期和最大值；

（Ⅱ）已知，求的值．

17．（本小題滿分14分）

統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距100千米

       （Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

       （Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

18．（本小題滿分12分）

已知關(guān)于的一元二次函數(shù)

    （Ⅰ）設(shè)集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)在區(qū)間[上是增函數(shù)的概率；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（，）是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)上是增函數(shù)的概率。

19．（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，

AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120⁰，F(xiàn)為AE中點(diǎn)。

(Ⅰ) 求證：平面ADE⊥平面ABE ；

(Ⅱ) 求二面角A―EB―D的大小的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)F到平面BDE的距離。

20．（本小題滿分14分）

如圖，已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，。

（Ⅰ）求直線l和拋物線C的方程；

（Ⅱ）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，

求△ABP面積最大值．

21．（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的首項(xiàng)，，．

（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明：對(duì)任意的，，；

（Ⅲ）證明：．

惠州市2009屆高三模擬考試數(shù)學(xué)試題

（理科）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

C

D

C

D

A

B

1、解析：則中的復(fù)數(shù)必須為實(shí)數(shù)，所以m=3；實(shí)部恰為-9, ∴選：B

2、解析：抽取學(xué)生數(shù)為（人）。∴選A。

3、解析：，故選C。

4、解析：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個(gè)圓錐，

，∴選D．

5、解析：命題的否定是只否定結(jié)論，∴選C.

6、解析：圓心（0，0）到直線的距離，     圓的半徑為1，可能相切或相交。故選D。

7、解析：P點(diǎn)取法總共有16種，由圖知直線截距為3時(shí)經(jīng)過的點(diǎn)最多；∴選A．

8、解析：由題意，函數(shù)的圖象大致如圖，

    ，

則由不等式組所表示的區(qū)域如圖所示，

的取值范圍即區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與

連線的斜率的取值范圍，

，故選B。

二．填空題（本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只需選做二題作答，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分．）

9、3      10、   3（注：答題卡填的是也給5分）  11、 

12、4       13、     14、4    15、 4

9、解析：或（舍去），故

10、解析：=1時(shí)進(jìn)入循環(huán)此時(shí)=2¹=2，=2時(shí)再進(jìn)入循環(huán)此時(shí)=2²=4，=3時(shí)再進(jìn)入循環(huán)此時(shí)=2⁴=16，∴=4時(shí)應(yīng)跳出循環(huán)，∴循環(huán)滿足的條件為，∴填3。

（注：答題卷上填的是也給5分）

11、解析：當(dāng)最大時(shí)P為橢圓與y軸的交點(diǎn)，的正切值為2，即，∵，則橢圓離心率e為。

12、解析：由消去得。直線的斜率為，∴填4．

13、解析：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和分別表示圓和直線，作圖易知＝。

14、解析：

15、解析：連結(jié)，則，且由知為正三角形，所以。又因?yàn)?sub>是⊙的切線，即，所以

16．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）

＝．…………………………………………………… 3分

∴周期為，        …………………………………………………… 4分

最大值為6    …………………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由，得．………………… 6分

∴．     …………………………… 7分

∴，       ………………………………………………… 8分

即            ………… 9分

，    ………………………………………………………10分

∴．  …………………………………………………… 12分

17．（本小題滿分14分）

解：（I）當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，     ………………2分

      要耗油（升）。      ………………4分

 答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升�！�6分

     （II）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，

        依題意得

 ………8分

     令得  ……10分

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。

 當(dāng)時(shí)，取到極小值   …………………………12分

         因?yàn)?sub>在上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少為11.25升。14分

18．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為

要使在區(qū)間上為增函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)>0且        …………………………………………2分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1

若=3則=－1，1；                 …………………………………………4分

∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5

∴所求事件的概率為             …………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)且>0時(shí)，

函數(shù)上為增函數(shù)，

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?sub>

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿�角形部分�?nbsp;   …………………………………………8分

由 …………………………………………10分

∴所求事件的概率為 …………………………………………12分

19.(本小題滿分14分)

解法1：(Ⅰ)證明：取BE的中點(diǎn)O，連OC，OF，DF，則2OFBA ………………2分

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD      ………………4分

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

從而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A―EB―D與二面角F―EB―D相等，由(Ⅰ)知二面角F―EB―D的平面角為∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，∴OFDC為正方形，∴∠FOD=45⁰，

∴二面角A―EB―D的余弦值為。   ……………………10分

（Ⅲ）∵OFDC為正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面EBD，

∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為FC，∴點(diǎn)F到平面BDE的距離為�！�…………14分

解法2：取BE的中點(diǎn)O，連OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系O－xyz，

則由已知條件有: ，，

 ……………………………2分

設(shè)平面ADE的法向量為，

則由?

及?

可取                 …………………………… 4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取為＝.

∵??=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）設(shè)平面BDE的法向量為，

則由?

及?可取……… 7分

∵平面ABE的法向量可取為＝                         …………8分

∴銳二面角A―EB―D的余弦值為=，………… 9分

∴二面角A―EB―D的余弦值為。          ……………………………10分

（Ⅲ）點(diǎn)F到平面BDE的距離為�！�…………………………14分

20．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）由得,              ……………………2分

設(shè)則

因?yàn)?sub>=

所以解得                      ………………4分

所以直線的方程為拋物線C的方程為        …………6分

（Ⅱ）方法1：設(shè)依題意，拋物線過P的切線與平行時(shí)，△APB面積最大，

，所以 所以

此時(shí)到直線的距離  ………………8分

由得，                ………………………10分

∴△ABP的面積最大值為。     …………………………14分

（Ⅱ）方法2：由得，           ……………………8分

……9分

設(shè) ，

因?yàn)?sub>為定值，當(dāng)到直線的距離最大時(shí)，△ABP的面積最大，

               ……………………………12分

因?yàn)?sub>，所以當(dāng)時(shí)，_max=，此時(shí)

∴△ABP的面積最大值為�！�…………………………14分

21．(本小題滿分14分)

解法一：（Ⅰ），，，                                ……………………2分

又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．     ………3分

，．               ……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，               ……………………5分

， 原不等式成立．………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對(duì)任意的，有

．     ……………………10分

取，…………12分

則．

原不等式成立．                           ……………………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設(shè)，     ……………………5分

則…………6分

，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，取得最大值．

原不等式成立．                                ……………………8分

（Ⅲ）同解法一．