5.坐標變換

　坐標變換　 在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做 坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點 的坐標與曲線的方程.

　坐標軸的平移　 坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫 做坐標軸的平移，簡稱移軸.

　坐標軸的平移公式　 設(shè)平面內(nèi)任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是(x,y)，在新坐標系x ′O′y′中的坐標是(x′,y′).設(shè)新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則

　(1)　　　　 或　　　 (2)

　公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.

　中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程

　中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.

方　　 程	焦　 點	焦　 線	對稱軸
橢 　 　圓		(±c+h,k)	x=±+h	x=h 　y=k
	(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　y=k
雙曲線		(±c+h,k)	y=±+k	x=h 　y=k
	(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　y=k
拋物線	(y-k)2=2p(x-h)	(+h,k)	x=-+h	y=k
(y-k)2=-2p(x-h)	(-+h,k)	x=+h	y=k
(x-h)2=2p(y-k)	(h, +k)	y=-+k	x=h
(x-h)2=-2p(y-k)	(h,- +k)	y=+k	x=h

4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義

　平面內(nèi)的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之 比是一個常數(shù)e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線.

　其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù)e稱為離心率.

　當0＜e＜1時，軌跡為橢圓

　當e=1時，軌跡為拋物線

　當e＞1時，軌跡為雙曲線

3.橢圓、雙曲線和拋物線

橢圓、雙曲線和拋物線的基本知識見下表.

2.圓

　圓的定義

　點集：{M｜｜OM｜=r}，其中定點O為圓心，定長r為半徑.

　圓的方程

　(1)標準方程

　圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是

　(x-a)²+(y-b)²=r²

　圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是

　x²+y²=r²

　(2)一般方程

　當D²+E²-4F＞0時，一元二次方程

　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　叫做圓的一般方程，圓心為(-,-)，半徑是.配方，將方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化為

　(x+)²+(y+)²=

　當D²+E²-4F=0時，方程表示一個點

　(-,-);

　當D²+E²-4F＜0時，方程不表示任何圖形.

　點與圓的位置關(guān)系　 已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x₀,y₀)，則

�。麺C｜＜r點M在圓C內(nèi)，

　　 　　　　　　　　　　　�。麺C｜=r點M在圓C上，

　　　　　　 ｜MC｜＞r點M在圓C內(nèi)，

　其中｜MC｜=.

　(3)直線和圓的位置關(guān)系

�、僦本�和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系

　直線與圓相交?有兩個公共點

　直線與圓相切?有一個公共點

　直線與圓相離?沒有公共點

�、谥本�和圓的位置關(guān)系的判定

　(i)判別式法

　(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r的大小關(guān)系來判定.

1.方程的曲線

　在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡 )上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

　(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；

　(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫 做方程的曲線.

　點與曲線的關(guān)系　 若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P₀(x₀,y₀)在曲線C上f(x₀,y₀)=0；

　點P₀(x₀,y₀)不在曲線C上f(x₀,y₀)≠0

　兩條曲線的交點　 若曲線C₁，C₂的方程分別為f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,則

　點P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交點

　方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒有 交點.

4.了解用坐標法研究幾何問題的思想，初步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的方法.

3.理解坐標變換的意義，掌握利用坐標軸平移化簡圓錐曲線方程的方法.

2.掌握圓錐曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)，并根據(jù)所給的條件畫圓錐曲線，了解圓錐曲線的 一些實際應(yīng)用.

1.掌握直角坐標系中的曲線與方程的關(guān)系和軌跡的概念，能夠根據(jù)所給條件，選擇適當?shù)闹?角坐標系求曲線的方程，并畫出方程所表示的曲線.

8.已知圓C:x²+(y-1)²=5,直線l:mx-y+1=0，

(1)求證：對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同交點；

(2)設(shè)l與圓C交于A、B兩點，若|AB|=，求l的傾斜角；

(3)求弦AB的中點M的軌跡方程.