Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B（10，4），D是矩形邊BC上的一點，將矩形沿過點D的直線折疊，使B的對應點B′落在x軸的正半軸上
（1）當點O與B′重合時，點D的坐標為（4.2，4）；
（2）連接B′C′，若△B′DC是以B′D為腰的等腰三角形，則點B′的坐標是（2，0）或（$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$，0）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當B′與O重合時，設BD=DO=x，在RtCDO中，利用勾股定理即可解決問題．
（2）分兩種情形①如圖2中，當DB′=CD=DB=5時，作DM⊥OA于M，在Rt△DMB′中，根據MB′=$\sqrt{DB{′}^{2}-D{M}^{2}}$即可解決．②如圖3中，當DB′=B′C時，設OB′=x，則CM=MD=x，DB=DB′=B′C=10-2x，在Rt△COB′中，利用勾股定理列出方程即可解決．

解答 解：（1）如圖1中，當B′與O重合時，設BD=DO=x，

在Rt△CDO中，∵OD²=CD²+CO²，
∴x²=（10-x）²+4²，
∴x=5.8，
∴CD=10-5.8=4.2，
∴點D坐標（4.2，4）．
故答案為（4.2，4）．

（2）如圖2中，當DB′=CD=DB=5時，作DM⊥OA于M，

在Rt△DMB′中，MB′=$\sqrt{DB{′}^{2}-D{M}^{2}}$=3，
∴OB′=OM-MB′=2，
∴B′坐標為（2，0）．
如圖3中，當DB′=B′C時，設OB′=x，則CM=MD=x，DB=DB′=B′C=10-2x，

在Rt△COB′中，∵B′C²=CO²+OB′²，
∴（10-2x）²=4²+x²，
∴x=$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$或$\frac{20+2\sqrt{37}}{3}$（舍棄），
綜上所述若△B′DC是以B′D為腰的等腰三角形，則點B′的坐標為（2，0）或（$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$，0）．
故答案為（2，0）或（$\frac{20-2\sqrt{37}}{3}$，0）．

點評 本題考查翻折變換、矩形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用勾股定理，構建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．