11.S(1,1)是拋物線L:y2=2px(p>0)上一點,以S為圓心,r為半徑的圓,與x軸正半軸相交于A,B兩點,連結(jié)并延長SA,SB,分別交橢圓L于C,D兩點(如圖所示).
(1)求p的值及r的取值范圍;
(2)求證:直線CD的斜率為定值.

分析 (1)求出p=$\frac{1}{2}$,關(guān)于x的方程(x-1)2=r2-1有兩個不等的正數(shù)解,由此能出r的取值范圍.
(2)SA,SB存在不為0的斜率,且兩個斜率互為相反數(shù),設(shè)直線SA的方程為y-1=k(x-1),C(x1,y1),(y1≠1),由直線SA的方程與拋物線L的方程聯(lián)立,得(ky-1+k)(y-1)=0,從而C($\frac{(1-k)^{2}}{{k}^{2}}$,$\frac{1}{k}-1$),同理得D($\frac{(1+k)^{2}}{{k}^{2}}$,-$\frac{1}{k}-1$),由此能證明直線CD的斜率為定值.

解答 解:(1)∵S(1,1)在拋物線L:y2=2px(p>0)上,
∴12=2p×1,解得p=$\frac{1}{2}$,
∵圓S:(x-1)2+(y-1)2=r2,(r>0)與x軸正半軸相交于A,B兩點,
∴關(guān)于x的方程(x-1)2+1=r2,(r>0),即(x-1)2=r2-1有兩個不等的正數(shù)解,
∴r>0,r2-1>0,1-$\sqrt{{r}^{2}-1}$>0,即1<r<$\sqrt{2}$.
∴r的取值范圍是(1,$\sqrt{2}$).
證明:(2)由|SA|=|SB|=r,A,B是不同的兩點,知SA,SB存在不為0的斜率,
且兩個斜率互為相反數(shù),
設(shè)直線SA的方程為y-1=k(x-1),C(x1,y1),(y1≠1),
由直線SA的方程與拋物線L的方程聯(lián)立:$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k(x-1)}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$,
得ky2-y+1-k=0,即(ky-1+k)(y-1)=0,
∴${y}_{1}=\frac{1}{k}-1$,C($\frac{(1-k)^{2}}{{k}^{2}}$,$\frac{1}{k}-1$),
同理得D($\frac{(1+k)^{2}}{{k}^{2}}$,-$\frac{1}{k}-1$),
∴直線CD的斜率kCD=$\frac{\frac{1}{k}-1+\frac{1}{k}+1}{\frac{(1-k)^{2}}{{k}^{2}}-\frac{(1+k)^{2}}{{k}^{2}}}$=$\frac{2k}{(1-k)^{2}-(1+k)^{2}}$=-$\frac{1}{2}$.
∴直線CD的斜率為定值-$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查實數(shù)值及取值范圍的求法,考查直線的斜率為定值的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意拋物線、直線方程的性質(zhì)的合理運用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知拋物線C1:y2=2x及圓C2:(x-1)2+y2=1.點P(a,b)為C1上一點.
(Ⅰ)當(dāng)a=2時,求過點P的圓C2的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)a>2時,過點P作圓C2的兩條切線l1,l2分別與y軸交于B,C兩點,求△PBC的面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知F1,(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為平面內(nèi)的兩個定點,動點P滿足|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{2}$,記點P的軌跡為曲線Γ.
(Ⅰ)求曲線Γ的方程;
(Ⅱ)設(shè)點O為坐標(biāo)原點,點A,B,C是曲線Γ上的不同三點,且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$.試探究:直線AB與OC的斜率之積是否為定值?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.如圖,設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線l1交拋物線C于A,B兩點,且|AB|=8,線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3.直線l2與圓${x^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$切于點P,與拋物線C切于點Q,則△FPQ的面積( 。
A.$\frac{3}{2}$B.2C.$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知三棱錐的三視圖如圖所示,其中正視圖是正三角形,側(cè)視圖是直角三角形,則該三棱錐的體積是( 。
A.2B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.3$\sqrt{3}$D.$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是一正方體被截去一部分后所得幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( 。
A.54B.162C.54+18$\sqrt{3}$D.162+18$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.邊長為4的菱形ABCD中,滿足∠DCB=60°,點E,F(xiàn)分別是邊CD和CB的中點,AC交BD于點H,AC交EF于點O,沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABD,連接PA,PB,PD,得到如圖所示的五棱錐P-ABFED.
(Ⅰ)求證:BD⊥PA;
(Ⅱ)求點D到平面PBF的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點K,過點K作圓(x-5)2+y2=9的兩條切線,切點為M,N,|MN|=3$\sqrt{3}$
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)A,B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點,且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{9}{4}$(其中O為坐標(biāo)原點).
①求證:直線AB必過定點,并求出該定點Q的坐標(biāo);
②過點Q作AB的垂線與拋物線交于G,D兩點,求四邊形AGBD面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖中半圓半徑為$\sqrt{2}$,則該幾何體的體積是( 。
A.$2π+8\sqrt{2}+2$B.$2π+8\sqrt{2}+1$C.$π+8\sqrt{2}+1$D.$π+8\sqrt{2}+2$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案