9.已知f(x)=ex,g(x)=lnx.
(1)若f($\frac{1}{e}$x)-ax≥0恒成立(a≥0),求a的取值范圍;
(2)求證:f($\frac{1}{e}$x)-g(x-e)>1.

分析 (1)分類(lèi)討論,a=0時(shí)顯然符合題意,a>0時(shí),構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出a的取值范圍;
(2)所求證式子可化為${e^{\frac{1}{e}x}}>eln(x-e)+e(x>e)$,構(gòu)造函數(shù)r(x)=eln(x-e)+e(x>e),求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系,以及(1)的結(jié)論即可證明.

解答 解:(1)a=0時(shí)顯然符合題意,
a>0時(shí),因?yàn)閒($\frac{1}{e}$x)-ax≥0恒成立,即${e}^{\frac{1}{e}x}$-ax≥0,恒成立,
令h(x)=${e}^{\frac{1}{e}x}$-ax,
則$h'(x)=\frac{1}{e}{e^{\frac{1}{e}x}}-a$,
假設(shè)h'(x0)=0,則${e^{\frac{1}{e}{x_0}}}=ae,{x_0}=e(lna+1)$,
且可知x∈(-∞,x0)時(shí)h'(x0)<0,x∈(x0,+∞)時(shí)h'(x0)>0,
所以h(x)≥h(x0),令h(x0)>0,得ae-ae(lna+1)≥0,
所以lna≤0,
所以0≤a≤1.
(2)證明:所求證式子可化為${e^{\frac{1}{e}x}}>eln(x-e)+e(x>e)$,
令r(x)=eln(x-e)+e(x>e),則$r'(x)=\frac{e}{x-e}-1=\frac{2e-x}{x-e}(x>e)$,
易得x=2e時(shí)r(x)有最大值,而r(2e)=elne+e-2e=0,
所以r(x)≤0且x=2e時(shí)取“=”,
即x≥eln(x-e)+e且x=2e時(shí)取“=”,
由(1)可知${e^{\frac{1}{e}x}}≥x$且x=x0=e時(shí)取“=”,
所以${e^{\frac{1}{e}x}}≥eln(e-x)+e$,
即$f(\frac{1}{e}x-1)-g(x-e)>1$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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同步練習(xí)冊(cè)答案