Question

8．在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（1）證明：直線MN∥平面OCD；
（2）求異面直線AB與MD所成角的大�。�
（3）求點B到平面OCD的距離．
（4）求二面角O-CD-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，利用向量法能證明直線MN∥平面OCD．
（2）求出$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），利用向地能求出AB與MD所成角的大小．
（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$）上的投影的絕對值，由此能求出點B到平面OCD的距離．
（4）求出平面OCD的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角O-CD-A的平面角的正切值．

解答 證明：（1）作AP⊥CD于點P，
如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，
A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
O（0，0，2），M（0，0，1），N（1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，0），
$\overrightarrow{MN}$=（1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$，-1），$\overrightarrow{op}$=（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-2），$\overrightarrow{OD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-設(shè)平面OCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}=\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}$=0+$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=0，且MN?平面OCD，
∴直線MN∥平面OCD．
解：（2）$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{MD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1），
設(shè)AB與MD所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{MD}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{MD}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{3}$，
∴AB與MD所成角的大小為$\frac{π}{3}$．
（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，
則d為$\overrightarrow{OB}$在向量$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$）上的投影的絕對值，
由$\overrightarrow{OB}$=（1，0，-2），得d=$\frac{|\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$，
所以點B到平面OCD的距離為$\frac{2}{3}$．
（4）平面OCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，4，$\sqrt{2}$），
平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角O-CD-A的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}}$=$\frac{1}{3}$，sinα=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
tanα=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{2}$．
∴二面角O-CD-A的平面角的正切值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題培養(yǎng)學(xué)生利用多種方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查學(xué)生利用空間向量求直線間的夾角、二面角和點到平面的距離的能力．