Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|．
（1）解不等式f（x）＜2x；
（2）若2^{f（x）+|x-a|}＞8對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值號(hào)，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）+|x-a|＞3對(duì)任意x∈R恒成立，即|a+1|＞3，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）＜2x，得：|x+1|＜2x，
則-2x＜x+1＜2x，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜2x}\\{x+1＞-2x}\end{array}\right.$，解得：x＞1，
故不等式的解集是（1，+∞）；
（2）∵f（x）+|x-a|=|x+1|+|x-a|≥|x+1-x+a|=|a+1|，
又2^{f（x）+|x-a|}＞8=2³對(duì)任意x∈R恒成立，
即f（x）+|x-a|＞3對(duì)任意x∈R恒成立，
∴|a+1|＞3，解得：a＞2或a＜-4，
故a的范圍是（-∞，-4）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)，是一道中檔題．