Question

7．在極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ=2cosθ，曲線 ${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）C與C₁，C₂交于不同四點(diǎn)，這四點(diǎn)在C上的排列順次為P，Q，R，S，求||PQ|-|RS||的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．曲線 ${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)四點(diǎn)在C上的排列順次為P，Q，R，S，其參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，t₄．曲線C的參數(shù)方程代入拋物線方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄．曲線C的參數(shù)方程代入圓的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃．∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁：ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x．
曲線 ${C_2}：ρ{sin^2}θ=4cosθ$即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化為直角標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=4x．
（II）設(shè)四點(diǎn)在C上的排列順次為P，Q，R，S，其參數(shù)分別為t₁，t₂，t₃，t₄．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入拋物線方程可得：3t²-8t-32=0．△₁＞0，可得t₁+t₄=$\frac{8}{3}$．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+t=0．△₂＞0，可得t₂+t₃=-1．
∴||PQ|-|RS||=|（t₂-t₁）-（t₄-t₃）|=|（t₂+t₃）-（t₁+t₄）|=$|1+\frac{8}{3}|$=$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．