Question

19．在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，∠A=$\frac{π}{3}$，M為DC的中點(diǎn)，N為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{NB}$|=|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（　　）

• A． 16
• B． 12
• C． 8
• D． 6

Answer 1

分析 根據(jù)條件及向量加減法的幾何意義即可得出|$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{MN}$|，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可

解答 解：由|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{NB}$|=|$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{AN}$|，可得|$\overrightarrow{AN}$|=|$\overrightarrow{MN}$|，
取AM的中點(diǎn)為O，連接ON，則ON⊥AM，
又$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AM}}^{2}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）²=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{2}$（4+$\frac{1}{4}$×16+2×4×$\frac{1}{2}$）=6，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量的幾何表示，數(shù)量積的幾何意義，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題