16.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{m}}$-lnx.
(Ⅰ)設(shè)x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),求m的值并討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)m≤-2時(shí),證明:f(x)>0.

分析 (Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù),利用x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),即可求m的值,通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)利用函數(shù)的恒成立,通過(guò)放縮法逐步推出結(jié)果即可.

解答 (本題滿(mǎn)分14分)
解:(Ⅰ)$f'(x)=\frac{e^x}{e^m}-\frac{1}{x},(x>0)$,x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),即$\frac{e}{{e}^{m}}-1=0$,所以m=1. …(2分)
于是函數(shù)f(x)=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{m}}$-lnx=$\frac{{e}^{x}}{e}$-lnx,f′(x)=$\frac{{e}^{x}}{e}$-$\frac{1}{x}$,
由f′(x)=0,可得x=1,
因此,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,
所以,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.  …(6分)
(Ⅱ)當(dāng)m≤-2時(shí),對(duì)于任意x∈(0,+∞),ex≥x+1恒成立,又x∈(0,+∞),x≥lnx恒成立,
∴ex-m≥ex+1>ex≥x+1>x≥lnx,即ex-m>lnx,
∴ex-m-lnx>0.
即f(x)>0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,熟練掌握導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)定義域,及函數(shù)最值時(shí)的功能是解答的關(guān)鍵.考查放縮法的應(yīng)用.

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15.函數(shù)f(x)=$\sqrt{1+x}+\frac{x}{1-x}$的定義域?yàn)椋ā 。?table class="qanwser">A.[-1,1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1]C.RD.[-1,+∞)

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16.在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x,y,則滿(mǎn)足2x≥y的概率為(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$

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4.若空間中有n(n≥5)個(gè)點(diǎn),滿(mǎn)足任意四個(gè)點(diǎn)都不共面,且任意兩點(diǎn)的連線(xiàn)都與其它任意三點(diǎn)確定的平面垂直,則這樣的n值( 。
A.不存在B.有無(wú)數(shù)個(gè)C.等于5D.最大值為8

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11.已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.
(1)若A⊆B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若A∩B=(1,2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
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1.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{m{x}^{2}+(m+n)x+1}{2}$(x∈R),且f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,滿(mǎn)足x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),點(diǎn)P(m,n)在平面直角坐標(biāo)系中表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若函數(shù)y=loga(x+4)(a>1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3).

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8.在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=45°,OA⊥面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).
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(2)求異面直線(xiàn)AB與MD所成角的大小;
(3)求點(diǎn)B到平面OCD的距離.
(4)求二面角O-CD-A的平面角的正切值.

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6.在調(diào)查480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表:
色盲不色盲合計(jì)
38442480
6514520
合計(jì)449561000
利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法來(lái)判斷色盲與性別有關(guān)?你所得到的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?
注:χ2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(χ2≥10.828)≈0.001,P(χ2≥5.024)≈0.025,P(χ2≥6.635)≈0.01.

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