Question

13．已知函數f（x）=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，若數列{b_n}滿足：b₁=1，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）．若對?n∈N^*，都?M∈Z，使得$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜M恒成立，則整數M的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先根據數列的函數特征，得到b_n+1=2f（b_n）=2b_n²-b_n+$\frac{1}{2}$，整理可得$\frac{1}{2_{n}}$=$\frac{1}{2_{n}-1}$-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$，再利用裂項求和即可得到$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$），由已知函數得到數列為增數列，根據首項且b₁=1，利用放縮法即可求出答案．

解答 解：函數f（x）=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$，
∴b_n+1=2f（b_n）=2b_n²-b_n+$\frac{1}{2}$，
∴2b_n+1=4b_n²-2b_n+1，
∴2b_n+1=2b_n（2b_n-1）+1
∴2b_n+1-1=2b_n（2b_n-1），
∴$\frac{1}{2_{n+1}-1}$=$\frac{2}{2_{n}（2_{n}-1）}$=$\frac{1}{2_{n}-1}$-$\frac{1}{2_{n}}$
∴$\frac{1}{2_{n}}$=$\frac{1}{2_{n}-1}$-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$）=$\frac{1}{2_{1}-1}$-$\frac{1}{2_{2}-1}$+$\frac{1}{2_{2}-1}$+$\frac{1}{2_{3}-1}$+$\frac{1}{2_{n}-1}$-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$，
∴$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=2（1-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$），
由f（x）=x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$可知b_n為增數列，且b₁=1，
∴2（1-$\frac{1}{2_{n+1}-1}$）＜2，
故整數M的最小值是2，
故選：A

點評 本題是對數列與函數的綜合，在數列與函數的綜合題中，一般是利用函數的單調性來研究數列的單調性，并考查了裂項求和和放縮法，屬于難題．