Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PC⊥平面ABCD，點E在棱PA上．
（Ⅰ）求證：直線BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PC∥平面BDE，求證：AE=EP；
（Ⅲ）是否存在點E，使得四面體A-BDE的體積等于四面體P-BDC的體積的$\frac{1}{3}$？若存在，求出$\frac{PE}{PA}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PC⊥BD，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）設AC與BD交點為O，連接OE，推導出PC∥OE，由ABCD是菱形可知O為AC中點，利用$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OC}=1$，能證明AE=EP．
（Ⅲ）在△PAC中過點E作EF∥PC，交AC于點F，由ABCD是菱形可知S_△ABD=S_△BDC，由此利用${V_{E-BDA}}=\frac{1}{3}{V_{P-BDC}}$，能求出結果．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，
因為底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
因為PC∩AC=C，所以BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）設AC與BD交點為O，連接OE，
因為平面PAC∩平面BDE=OE，PC∥平面BDE，
所以PC∥OE，
又由ABCD是菱形可知O為AC中點，
所以，在△PAC中，$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OC}=1$，
所以AE=EP．
解：（Ⅲ）在△PAC中過點E作EF∥PC，交AC于點F，
因為PC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．
由ABCD是菱形可知S_△ABD=S_△BDC，
假設存在點E滿足${V_{A-BDE}}=\frac{1}{3}{V_{P-BDC}}$，即${V_{E-BDA}}=\frac{1}{3}{V_{P-BDC}}$，則$EF=\frac{1}{3}PC$，
所以在△PAC中，$\frac{AE}{AP}=\frac{EF}{PC}=\frac{1}{3}$，
所以$\frac{PE}{PA}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線段相等的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷及線段的比值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．