13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}+ax-2{a^2}$lnx(a≠0).
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

分析 (I)先求出函數(shù)的定義域,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分析導(dǎo)函數(shù)符號在不同區(qū)間上的取值,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可得結(jié)論;
(II)若f(x)>0恒成立,則f(x)的最小值大于0,根據(jù)(I)中結(jié)論,求出函數(shù)的最小值,代入構(gòu)造關(guān)于a的不等式,解不等式可得a的取值范圍

解答 解:(I)f(x)的定義域為(0,+∞),$f'(x)=x+a-\frac{{2{a^2}}}{x}=\frac{{{x^2}+ax-2{a^2}}}{x}=\frac{{({x+2a})({x-a})}}{x}$
(1)當(dāng)a<0時,在(0,-2a)上f'(x)<0,在(-2a,+∞)上f'(x)>0.
因此,f(x)在(0,-2a)上遞減,在(-2a,+∞)上遞增.
(2)當(dāng)a>0時,在(0,a)上f'(x)<0,在(a,+∞)上f'(x)>0.
因此,f(x)在(0,a)上遞減,在(a,+∞)上遞增.
(II)由(I)知:a<0時,$f{(x)_{min}}=f({-2a})=2{a^2}-2{a^2}-2{a^2}ln({-2a})=-2{a^2}ln({-2a})$
由f(x)>0得:$ln({-2a})<0⇒0<-2a<1⇒-\frac{1}{2}<a<0$,
當(dāng)a>0時,$f{(x)_{min}}=f(a)=\frac{1}{2}{a^2}+{a^2}-2{a^2}lna=\frac{3}{2}{a^2}-2{a^2}lna$
由f(x)>0得:$\frac{3}{2}{a^2}-2{a^2}lna>0⇒lna<\frac{3}{4}⇒0<a<{e^{\frac{3}{4}}}$
綜上得:$a∈({-\frac{1}{2},0})∪({0,{e^{\frac{3}{4}}}})$.

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值,其中熟練掌握參數(shù)的處理方法與技巧,是解答的關(guān)鍵,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.某三棱錐的三視圖如圖所示,其體積V=( 。
A.$\frac{80}{\begin{array}{l}3\end{array}}$B.$\frac{40}{\begin{array}{l}3\end{array}}$C.80D.40

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.某校高二年級共有1600名學(xué)生,其中男生960名,女生640名,該校組織了一次滿分為100分的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬考試,根據(jù)研究,在正式的學(xué)業(yè)水平考試中,本次成績在的學(xué)生可取得A等(優(yōu)秀),在七組加以統(tǒng)計,繪制成頻率分布直方圖,如圖是該頻率分布直方圖.
(Ⅰ)估計該校高二年級學(xué)生在正式的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試中,成績不合格的人數(shù);
(Ⅱ)請你根據(jù)已知條件將下列2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“該校高二年級學(xué)生在本次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計
男生a=12b=4860       
女生c=6d=3440
合計1882n=100
附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.
P(k2≥k00.150.100.050.01
k02.0722.7063.8416.635

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.不等式2x2-axy+3y2≥0對于任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(  )
A.a≤2$\sqrt{2}$B.a≤2$\sqrt{6}$C.a≤5D.a≤$\frac{9}{2}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.(1)解不等式|x-2|+|x-5|<5;
(2)如果關(guān)于x的不等式|x-2|+|x-5|<a的解集不是空集,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

18.已知橢圓C:$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1,過點D(0,4)的直線l與橢圓C交于不同兩點M,N(M在D,N之間),有以下四個結(jié)論:
①若$\left\{{\begin{array}{l}{{x^'}=x}\\{{y^'}=2y}\end{array}}$,橢圓C變成曲線E,則曲線E的面積為4π;
②若A是橢圓C的右頂點,且∠MAN的角平分線是x軸,則直線l的斜率為-2;
③若以MN為直徑的圓過原點O,則直線l的斜率為±2$\sqrt{5}$;
④若$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{DM}$,則λ的取值范圍是1<λ≤$\frac{5}{3}$.
其中正確的序號是①④.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.已知拋物線x2=-y+1與x軸交于A,B兩點(A在B的左邊),M為拋物線上不同于A,B的任意一點,則kMA-kMB=( 。
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.某工廠某產(chǎn)品產(chǎn)量y(千件)與單位成本x(元)滿足線性回歸方程$\widehat{y}$=75.7-2.13x,則以下說法中正確的是( 。
A.產(chǎn)量每增加1000件,單位成本下降2.13元
B.產(chǎn)量每減少1000件,單位成本下降2.13元
C.產(chǎn)量每增加1000件,單位成本上升2130元
D.產(chǎn)量每減少1000件,單位成本上升2130元

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

6.化簡下列各式:
(1)$\frac{\sqrt{1+2sin610°cos430°}}{sin250°+cos790°}$;
(2)$\frac{cos(2π-α)sin(3π+α)cos(\frac{3π}{2}-α)}{cos(-\frac{π}{2}+α)cos(α-3π)sin(-π-α)}$.

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