18.橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的右焦點為F(4m,0)(m>0)且m為常數(shù),離心率為$\frac{4}{5}$,過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C與M,N兩點,
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)當θ=90°時,$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{9}$,求實數(shù)m的值;
(3)試問$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的值是否與直線l的傾斜角θ的大小無關(guān),并證明你的結(jié)論.

分析 (1)由焦點求出c,結(jié)合橢圓離心率求得a,再由隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
(2)由θ=90°,可得直線l垂直x軸,求出M,N的坐標,代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{9}$,即可求得實數(shù)m的值;
(3)當θ=90°時,由(2)知$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$;當θ≠90°時,設(shè)直線的斜率為k,M(x1,y1),N(x2,y2),則直線MN:y=k(x-4m),聯(lián)立橢圓方程,得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出M,N的橫坐標的和與積,代入$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$,說明$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$的值與直線l的傾斜角θ的大小無關(guān).

解答 解:(1)由c=4m,$e=\frac{4}{5}$,得:a=5m,∴b2=a2-c2=9m2,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{{25{m^2}}}+\frac{y^2}{{9{m^2}}}=1$;
(2)當x=4m時,${y^2}=\frac{{81{m^2}}}{25}$,得:$|y|=\frac{9m}{5}$,
于是當θ=90°時,$NF=MF=\frac{9m}{5}$,于是$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{9m}{5}=\frac{{9\sqrt{2}}}{5}$,
得到$m=\sqrt{2}$;
(3)①當θ=90°時,由(2)知$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$;
②當θ≠90°時,設(shè)直線的斜率為k,M(x1,y1),N(x2,y2),則直線MN:y=k(x-4m),
聯(lián)立橢圓方程有(9+25k2)x2-200k2mx+25m2(16k2-9)=0,
${x_1}+{x_2}=\frac{{200{k^2}m}}{{(9+25{k^2})}}$,${x_1}•{x_2}=\frac{{25{m^2}(16{k^2}-9)}}{{(9+25{k^2})}}$,
$\frac{1}{MF}+\frac{1}{NF}$=$\frac{1}{{5m-\frac{4}{5}{x_1}}}$+$\frac{1}{{5m-\frac{4}{5}{x_2}}}$=$\frac{10m-\frac{4}{5}({x}_{1}+{x}_{2})}{25{m}^{2}-4m({x}_{1}+{x}_{2})+\frac{16}{25}{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{90m(1+{k}^{2})}{81{m}^{2}(1+{k}^{2})}$.
得$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$.
綜上,$\frac{1}{NF}+\frac{1}{MF}=\frac{10}{9m}$為定值,與直線l的傾斜角θ的大小無關(guān).

點評 本題考查橢圓標準方程的求法,考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法,是中檔題.

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