2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD.
(1)求證:平面PAB⊥平面PDC
(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$.若存在,求$\frac{AG}{AB}$的值;若不存在,說明理由.

分析 (1)推導(dǎo)出PD⊥AP,AB⊥PD,由此能證明平面PAB⊥平面PDC.
(2)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OF,PO⊥AD,以O(shè)為原點(diǎn),射線OA,OF,OP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由此利用向量法能求出在線段AB上存在點(diǎn)G(1,$\frac{1}{2}$,0)使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$,$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$.

解答 (本小題滿分12分)
證明:(1)∵AD=2,∴$PA=PD=\sqrt{2}$,
∴PA2+PD2=AD2∴PD⊥AP,
又∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴AB⊥平面PAD,又PD?平面PAD,∴AB⊥PD,
又∵AP∩AP=A,且AP、AB?平面PAB,
∴PD⊥平面PAB,
又PD?平面PDC,∴平面PAB⊥平面PDC…(6分)
解:(2)如圖,取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OF,
∵PA=PD,∴PO⊥AD.
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PO⊥平面ABCD,
而O,F(xiàn)分別為AD,BD的中點(diǎn),∴OF∥AB,
又ABCD是正方形,∴OF⊥AD,
以O(shè)為原點(diǎn),射線OA,OF,OP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則有A(1,0,0),C(-1,2,0),F(xiàn)(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),…(8分)
若在AB上存在點(diǎn)G,使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$,連接PG、DG,
設(shè)G(1,a,0)(0≤a≤2),
則$\overrightarrow{DP}$=(1,0,1),$\overrightarrow{GD}$=(-2,-a,0),
由(2)知平面PDC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{PA}$=(1,0,-1),
設(shè)平面PGD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z).
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{GD}=0}\end{array}}\right.$,即$\left\{{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{-2x-ay=0}\end{array}}\right.$,.
令y=-2,得$\overrightarrow{n}$=(a,-2,-a),…(10分) 
∴|cos<$\overrightarrow n$,$\overrightarrow{PA}$>|=$\frac{2a}{\sqrt{2}•\sqrt{2{a}^{2}+4}}$=$\frac{1}{3}$,解得a=$\frac{1}{2}$,
∴a=$\frac{1}{2}$,此時(shí)$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$,
∴在線段AB上存在點(diǎn)G(1,$\frac{1}{2}$,0)使得二面角C-PD-G的余弦值為$\frac{1}{3}$,$\frac{AG}{AB}=\frac{1}{4}$.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查面面垂直的證明,考查滿足條件的點(diǎn)的位置的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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