Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+3，a∈R．
（1）當a=1時，計算函數(shù)的極值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，求出極值點，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值．
（2）求出函數(shù)f（x）的定義域，函數(shù)的導數(shù)，通過當a≤0時，當a＞0時，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx-x+3，$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$（1分）
令f'（x）＞0解得0＜x＜1，所以函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞增；   （2分）
令f'（x）＜0解得x＞1，所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；    （3分）
所以當x=1時取極大值，極大值為f（1）=2；函數(shù)無極小值． （4分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-a$；       （5分）
當a≤0時，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$在（0，+∞）恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；（7分）
當a＞0時
令f'（x）＞0解得$0＜x＜\frac{1}{a}$，所以函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$單調(diào)遞增；
令f'（x）＜0解得$x＞\frac{1}{a}$，所以函數(shù)f（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$單調(diào)遞減；（10分）
綜上所述：當a≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（0，\frac{1}{a}）$，單調(diào)減區(qū)間為$（\frac{1}{a}，+∞）$   （12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．