Question

11．已知（a+e）x-1-lnx≤0（e是自然對數(shù)的底數(shù)）對任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]都成立，則實數(shù)a的最大值為-e．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為a（ $\frac{1+lnx}{x}$-e）_min對于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立，設(shè)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-e，求出函數(shù)f（x）的最小值即可求出a的最大值．

解答 解：（a+e）x-1-lnx≤0對于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立
?a≤$\frac{1+lnx}{x}$-e對于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立
?a≤（ $\frac{1+lnx}{x}$-e）_min對于任意x∈[$\frac{1}{e}$，2]恒成立
設(shè)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$-e，x∈[$\frac{1}{e}$，2]，則f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{e}$≤x＜1，令f′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1）遞增，在（1，2]遞減，
∴f（$\frac{1}{e}$）或f（2）最小，
而f（$\frac{1}{e}$）=-e，f（2）=$\frac{1}{2}$（1+ln2）-e，
∴f（$\frac{1}{e}$）＜f（2），
∴a的最大值是-e，
故答案為：-e．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查構(gòu)造函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想與導(dǎo)數(shù)法求極值的綜合應(yīng)用，求得f（x）的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．