例3  點P與定點F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離比是1：3,求動點P與定點距離的最值。

    錯解：設(shè)動點P(x,y)到直線x=8的距離為d，則

    即

    兩邊平方、整理得

    =1    （1）

    由此式可得：

    因為

    所以

    剖析  由上述解題過程知,動點P(x,y)在一橢圓上，由橢圓性質(zhì)知，橢圓上點的橫縱坐標都是有限制的，上述錯解在于忽視了這一取值范圍，由以上解題過程知，的最值可由二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性給予解決

    即：當時，

    例4  已知雙曲線的離心率e=, 過點A（）和B(a,0)的直線與原點的距離為,直線y=kx+m與該雙曲線交于不同兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一圓上，求m 的取值范圍。

    錯解  由已知，有

    解之得：

    所以雙曲線方程為

    把直線 y=kx+m代入雙曲線方程，并整理得：

    所以(1)

    設(shè)CD中點為，

    則APCD，且易知：

    所以

      (2)

    將(2)式代入(1)式得

    解得m>4或

    故所求m的范圍是

    剖析  上述錯解，在于在減元過程中，忽視了元素之間的制約關(guān)系，將代入(1) 式時，m受k的制約。

    因為

    所以

    故所求m的范圍應(yīng)為

    m>4或

    例5  橢圓中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率,已知點P（）到橢圓上的點最遠距離是，求這個橢圓的方程。

    錯解   設(shè)所求橢圓方程為

    因為

    所以a=2b

    于是橢圓方程為

    設(shè)橢圓上點M（x,y）到點P 的距離為d,

    則：

    所以當時，

    有

    所以所求橢圓方程為

    剖析  由橢圓方程

    得

    由(1)式知是y的二次函數(shù)，

    其對稱軸為

    上述錯解在于沒有就對稱軸在區(qū)間內(nèi)或外進行分類，

    其正確應(yīng)對f(y)=的最值情況進行討論：

    （1）當，即時

    =7

    ,方程為

    （2）當,

    即時，

    ，與矛盾。

    綜上所述，所求橢圓方程為

    五、忽視判別式法。

    例 6 已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。

    錯解  設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、

    則

    （1）得

    因為A（1，1）為線段PQ的中點，

    所以

    將(4)、(5)代入（3）得

    若，則直線的斜率

    所以符合題設(shè)條件的直線存在。

    其方程為

    剖析  在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應(yīng)對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。

    應(yīng)在上述解題的基礎(chǔ)上，再由

    得

    根據(jù),說明所求直線不存在。

    六、忽視斜率不存在的情況。

    例7  已知橢圓，F(xiàn)為它的右焦點，直線過原點交橢圓C于A、B兩點。求是否存在最大值或最小值？若不存在，說明理由。

    錯解 設(shè)A、B兩點坐標分別為、

    因為

    所以

    又橢圓中心為（1，0）,右準線方程為x=5

    所以

    即

    同理

    所以

    設(shè)直線的方程為y=kx，代入橢圓方程得

    所以

    代入(1)式得

    所以

    所以|有最小值3,無最大值。

    剖析  上述錯解過程忽視了過原點斜率不存在的直線，當的斜率不存在時，有

   所以有最小值為 3，最大值為25/4