1．已知集合，則滿足的集合的個數(shù)是

A．               B．            C．           D．

2．已知，為虛數(shù)單位，且，則的值為

A．              B．           C．       D．

3．設，，，則的大小順序是

A．　     B．     C．     D．

4．在中，分別是的對邊，且，則 等于            　　　

   A．            B．          C．         D．

5．已知命題：“”，命題：“”．

若命題“且”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為

A．或                    B．或   

C．                             D．                  

6． 已知，是由直線和曲線圍成的曲邊三角形的平面區(qū)域，若向區(qū)域上隨機投一點，則點落在區(qū)域內的概率為

A ．     　      B ．    　     C．  　　  　 D．

7．在教材中，我們學過“經(jīng)過點，法向量為的平面的方程是：”．現(xiàn)在我們給出平面的方程是，平面的方程是，則由這兩平面所成的銳二面角的余弦值是

　A．          B．           C．          D．

8．已知函數(shù)的定義域為，部分對應值如下表．為的導函數(shù)，函數(shù)的圖象如下圖所示．

若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是

A．         B．       C．        D．

第Ⅱ卷 (非選擇題共110分)

注意事項:

    第Ⅱ卷全部是非選擇題，必須在答題卡非選擇題答題區(qū)域內，用黑色鋼筆或簽字筆作答，不能答在試卷上，否則答案無效．

必做題：第9、10、11、12題為必做題．

9．已知數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則=________．

10．設二項式 展開式各項的系數(shù)和為 P，二項式系數(shù)之和為S，P + S = 72，則正整數(shù)=________，展開式中常數(shù)項的值為___________．

12．已知拋物線與直線交于兩點，如果在該拋物線上存在點，使得為坐標原點），則實數(shù)＝       ．

選做題：從第13、14、15三道題中選做兩題，三題都答的只計算前兩題的得分．

13．如圖，⊙和⊙交于兩點，點在⊙上， ⊙的弦分別與弦、

⊙交于、兩點，若，，則⊙的半徑為___________．

14．若直線與曲線為參數(shù)，且有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是__________．                                               

15．關于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最大值是­­_______．

16．（本小題滿分12分）已知，，設．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）當，時，求函數(shù)的最大值及最小值．

17．（本小題滿分12分）有編號為的個學生，入坐編號為的個座位．每個學生規(guī)定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為，已知時，共有種坐法．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望．

18．（本小題滿分14分）如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大�。�

(Ⅲ)求二面角的大�。�

19． （本小題滿分14分）設是定義在上的奇函數(shù)，且當時， ．

(Ⅰ)求函數(shù)的解析式；

(Ⅱ) 當時，求函數(shù)在上的最大值；

(Ⅲ)如果對滿足的一切實數(shù)，函數(shù)在上恒有，求實數(shù)的取值范圍．

20．（本小題滿分14分）已知橢圓的中心為原點，點是它的一個焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且當直線垂直于軸時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準線上可以找到一點，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）設，數(shù)列的前項和為．求證：對任意的，．

2007年深圳市高三年級第二次調研考試理科數(shù)學答案及評分標準

說明：

1

2

3

4

5

6

7

8

C

B

C

D

A

D

A

B

9．．             10．，．           11．．          12．．

13．．            14．．       15．．

16．（本小題滿分12分）已知，設．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）當，時，求函數(shù)的最大值及最小值．

解：（Ⅰ） =       ……2分

= =  …………………3分 

= =． 　………………5分 

    ∴的最小正周期．                 ………………………………6分

（Ⅱ）∵ ，  ∴．

∴當，即=時，有最大值；         ………………10分

當，即=時，有最小值 ．       ……………12分

17．（本小題滿分12分）有編號為的個學生，入坐編號為的個座位．每個學生規(guī)定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數(shù)為，已知時，共有種坐法．

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）求隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望．

解：（Ⅰ）當時，有種坐法，                 ……………………………2分

，即，

，或（舍去）．                         

．                                      ………………………………4分               

（Ⅱ）的可能取值是，

又， ，     

  ，， ………………………………8分

的概率分布列為：

P

……………………10分                                                 

則．                   ……………………12分

18．（本小題滿分14分）

如圖，正方形所在的平面與平面垂直，

是和的交點，，且．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求直線與平面所成的角的大小；

(Ⅲ)求二面角的大小．

解法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，    

又∵，

平面．……………………3分

平面，

． …………………………4分

平面．    ………………5分

 (Ⅱ)連結，

平面，

是直線與平面所成的角．            ……………………………5分

設，則

，，              ……………………………………………6分

，

．           

即直線與平面所成的角為．   ……………………………………………8分

 (Ⅲ)過作于，連結．    ……………………………………………9分

平面，

．

平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所設可得

，，

．             ……………………………………………12分

．

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分

解法二: ∵四邊形是正方形 ，

，

∵平面平面，

平面，                      ……………………………………………2分

∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則

，

是正方形的對角線的交點，

．…………………………………4分

 (Ⅰ) ，，，

，                 ………………………………………6分

平面．                      ……………………………………………7分

(Ⅱ) 平面，

為平面的一個法向量，         ……………………………………………8分

，

．        ……………………………………………9分

．

∴直線與平面所成的角為．      ………………………………………10分

 (Ⅲ) 設平面的法向量為，則且，

且．

      即

取，則， 則．      ……………………………………………12分

又∵為平面的一個法向量，且，

，

設二面角的平面角為，則，

．

∴二面角等于．           ……………………………………………14分

19．（本小題滿分14分）

設是定義在上的奇函數(shù)，且當時， ．

 (Ⅰ)求函數(shù)的解析式；

(Ⅱ) 當時，求函數(shù)在上的最大值；

(Ⅲ)如果對滿足的一切實數(shù)，函數(shù)在上恒有，求實數(shù)的取值范圍．

解: (Ⅰ)當時， ，則

．            ……………………………2分

當時， ．           ……………………………3分

        …………………………4分

(Ⅱ)當時

． ………5分

 (1)當，即時

當時，， 當時，，

在單調遞增，在上單調遞減，

．                 ……………………………7分

(2)當，即時，，

在單調遞增．

，                 ……………………………9分

           ……………………………10分

(Ⅲ) 要使函數(shù)在上恒有，必須使在上的最大值．

也即是對滿足的實數(shù)，的最大值要小于或等于．   ………………11分

（1）當時，，此時在上是增函數(shù)，

則．

，解得．  ………①           ………………………………12分

（2）當時，

此時，在上是增函數(shù)， 的最大值是．

，解得．………②            ……………………………13分

由①、②得實數(shù)的取值范圍是．              ……………………………14分

20．（本小題滿分14分）

已知橢圓的中心為原點，點是它的一個焦點，直線過點與橢圓交于兩點，且當直線垂直于軸時，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得在橢圓的右準線上可以找到一點，滿足為正三角形．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

解：（Ⅰ）設橢圓的方程為：，則．……①……1分

當垂直于軸時，兩點坐標分別是和，

，則，即．………②  …3分

由①，②消去，得．

或（舍去）．

當時，．

因此，橢圓的方程為．                 ……………………………5分

（Ⅱ）設存在滿足條件的直線．

(1)當直線垂直于軸時，由（Ⅰ）的解答可知，焦點到右準線的距離為，此時不滿足．

因此，當直線垂直于軸時不滿足條件．               ……………………………7分

（2）當直線不垂直于軸時，設直線的斜率為，則直線的方程為．

由，

設兩點的坐標分別為和，則

，．

 ．    ……………………9分

又設的中點為，則．

當為正三角形時，直線的斜率為．

，

．

…………………………11分

當為正三角形時，，即＝，

解得，．                                  …………………………13分

因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或．……14分

21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）設，數(shù)列的前項和為．求證：對任意的，．

解：（Ⅰ），，……………3分

又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．……5分

，　即.　　　　　　　　 　　………………6分

（Ⅱ）．

．      ………………9分

（Ⅲ），

．                      ……………………10分

當時，則

．

，   對任意的，．          ………………………14分

命題：喻秋生  李志敏  程武軍      審題：石永生