2.4.1拋物線的標準方程

[教學目標]

一、創(chuàng)設情景:問題:若一動點到定點F的距離與到一條定直線的距離之比是一個常數時,那么這個點的軌跡是什么曲線?(描點畫出,拋物線)

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二、講解新課:

1. 拋物線定義:

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平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 定點F叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準線

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思考1:拋物線定義中,Fl,當F∈l時,軌跡是什么?(過F垂直于l的直線)

思考2:拋物線的離心率是多少?(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線,橢圓離心率為e∈(0,1),雙曲線離心率為e∈(1,+∞),拋物線只能為1。到定點距離與到定直線距離的比就是離心率)

問題3:怎樣得到拋物線的方程?

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2.推導拋物線的標準方程:

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如圖所示,建立直角坐標系系,設|KF|=>0),那么焦點F的坐標為,準線的方程為,

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設拋物線上的點M(x,y),則有

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化簡方程得

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   方程叫做拋物線的標準方程

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(1)它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上,焦點坐標是F(,0),它的準線方程是

p為焦點到準線的距離,簡稱焦準距

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   (2)一條拋物線,由于它在坐標系的位置不同,方程也不同,有四種不同的情況,所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式:,.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下 

圖形

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方程

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焦點

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準線

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   說明:如果不考慮p的正負,則拋物線標準方程有兩種形式y(tǒng)2=2ax,y2=-2ax

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   思考:y=ax2的焦點坐標和準線方程各是什么?(焦點(0,),準線x=-

   練習:教材P45----練習題

   例:M為拋物線y2=4x上一點,F為其焦點,(1)MF=6,求M的坐標;(2)若A(2,2),MF+MA最小,求M的坐標

   解:(1)設M(x,y),

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[方法一]則,解得M(5,±2)

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[方法二]拋物線準線為x=-1,MF等于M到準線的距離x+1=6,x=5,代入拋物線方程得M(5,±2)

(2)設M到準線距離為d,則MF+MA=d+MA,從而自A向準線作垂線,與拋物線交點即為點M,M(1,2)

[補充習題]

試題詳情

四、作業(yè):教材P47――習題2.4:1,2,6,7

1、若點A是定直線l外一定點,則過點A且與l相切的圓的圓心的軌跡是_______________

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2、點M到點(0,8)的距離比它到直線y=-7的距離大1,則M點的軌跡方程是________.

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3、拋物線y2=16x上的一Px軸的距離為12,焦點為F,求PF=____

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4、已知拋物線y2x上的點M到準線的距離等于它到頂點的距離,求P點的坐標.

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5、求過點(t2,t)(t≠0)的拋物線方程

[答案]

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1、以A為焦點,l為準線的拋物線

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2、x2=32y(將y=-7向下平移一個單位得到y(tǒng)=-8,M到它的距離與到點(0,8)的距離相等)

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3、13

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4、(,

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5、x2=t3y或y2=x

[教后感想與作業(yè)情況]

 

 

 

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2.4.2拋物線的幾何性質

[教學目標]

[教學重點]拋物線的幾何性質。

[教學難點]拋物線的幾何性質的應用。

教學過程:

二、建構數學

試題詳情

一、復習引入:橢圓、雙曲線的幾何性質從哪幾個方面展開的?拋物線性質如何?

先根據拋物線的標準方程研究拋物線的幾何性質

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1、范圍:x≥0

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2、對稱性

拋物線關于x軸對稱.我們把拋物線的對稱軸叫拋物線的軸.

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3、頂點

拋物線和它的軸的交點叫拋物線的頂點.即坐標原點.

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4、拋物線的幾何性質歸納

標準方程

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圖  形

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焦點坐標

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準線方程

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開口方向

向右

向左

向上

向下

對稱軸

x軸

y軸

頂點

坐標原點

觀察發(fā)現1:拋物線的對稱軸與其標準方程有什么聯系?(正好是標準方程中的一次項)

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2:拋物線中,過焦點而垂直于軸直線與拋物線兩交點的線段稱拋物線的通徑,其長為多少?(2p)

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3、拋物線有無漸近線?(無,當x的值增大時,也增大,這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.(但應讓學生注意與雙曲線一支的區(qū)別,無漸近線).

三、數學運用

課堂練習:課本47頁練習1-3

試題詳情

例1、 汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線,燈口直徑為197mm,反光曲面的頂點到燈口的距離是69mm,由拋物線的性質可知,當燈泡安裝在拋物線的焦點處時,經反光曲面反射后的光線是平行光線,為了獲得平行光,應怎樣安裝燈泡?(精確到1mm

試題詳情

解:如圖,在車燈的一個軸截面上建立坐標系,設拋物線方程為,燈應安裝在焦點F處。

試題詳情

在軸上取一點C,使OC=69cm,過C作x軸的垂線,交拋物線與A、B兩點,AB就是燈口的直徑,即AB=197,所以A點坐標為,將A點坐標代入方程,解得,它得焦點坐標約為。因此燈泡應該安裝在距頂點35mm處。

試題詳情

例2、正三角形的一個頂點位于坐標原點,另外兩個頂點在拋物線上,求這個正三角形的邊長.

分析:觀察圖正三角形及拋物線都是軸對稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對稱軸,則容易求出三角形的邊長.

試題詳情

解:如圖,設正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上,且坐標分別為,則:

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,所以.

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由此可得,,即線段AB關于x軸對稱,因為x軸垂直于AB,且

試題詳情

Aox=30°,所以.

試題詳情

說明:這個題目對學生來說,求邊長不困難,但是他們往往直觀上承認拋物線與三角形的對稱軸是公共的,而忽略了它的證明.教學時, 要提醒學生注意這一點。

試題詳情

例3、已知定點,試在拋物線上找一點N,求MN的最小值,并求相應的點N的坐標

試題詳情

解: 設,則,=x12-2(a-p)x1+a2

試題詳情

(1)       當時,,取最小值,此時

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(2)       當時,,取最小值,此時

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MNmin=

   [補充習題]

試題詳情

   四、作業(yè):教材P47----習題3,4,5

1、點(x,y)在拋物線y2=4x上,則z=x2++3的最小值是_______,到直線2x-y-4=0距離最小的點的坐標為_________________

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2、已知拋物線的頂點為橢圓=1(a>b>0)的中心,拋物線的焦點為橢圓的一個焦點,橢圓的離心率e=,有拋物線與橢圓交于點M(,-),求橢圓與拋物線的方程

試題詳情

3、已知點F為拋物線y2=4x的焦點,點A、B是拋物線上兩點,三角形AFB是正三角形,求該三角形的邊長

[答案]

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1、3;(,±1)

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2、+=1,y2=4x

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3、8±4

[教后感想與作業(yè)反饋]

 

 

 

 

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                        2.4.2(2)拋物線性質的應用

教學目標

教學重點

會利用拋物線的標準方程和幾何性質處理一些簡單的問題;

教學難點

分析問題解決問題能力的培養(yǎng)。

教學過程

教學內容

一、復習引入

拋物線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、開口方向、通徑)

二、數學運用

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三、情感態(tài)度和價值觀:體會方程與曲線的關系及數形結合的思想方法

例1.已知拋物線頂點在原點,對稱軸為x軸,拋物線上的點(x0,-8)到焦點的距離等于17,求拋物線方程.

分析  設方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)

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則  x0+=17或-x0=17       即  x0=17-或x0=-17

試題詳情

將(17-,-8)代入y2=2px      解得  p=2或p=32

試題詳情

將(-17,-8)代入y2=-2px     解得  p=2或p=32

∴所求拋物線方程為y2=±4x或y2=±64x.

說明:注意解題過程中用待定系數法的步驟:設――算――回

試題詳情

例2.  已知拋物線y2=2px上兩點A、B,BC⊥x軸交拋物線于C,AC交x軸于E,BA延長交x軸于D,求證:O為DE中點.

試題詳情

分析  只需證出D、E兩點的橫坐標互為相反數即可,設A,B   ,設D,E,由A,B,D三點共線得(斜率相等或向量共線):xD=x1-=-=-=,同理,由A,C,E共線得: (以-y2代替y1)     即O為DE中點.

說明:計算中注意先化簡后求值,同理時注意其代換規(guī)律

試題詳情

例3.       已知直線L過點A()且與拋物線只有一個公共點,求直線L的方程。

試題詳情

分析   設直線方程為:代入拋物線方程化簡得:

試題詳情

(1)       當時,方程組有且只有一解,所以直線與拋物線只有一個公共點;

試題詳情

  直線方程為:

試題詳情

(2)       當時,由直線方程為:

總之,直線方程為y-1=0或2x+2y+1=0或2x-6y+0=0

試題詳情

說明:直線l與拋物線C:(  )2=±2p(    )交點,看其公共方程mx2+nx+q=0或my2+ny+q=0,則△=n2-4mq,于是:l與C相交于兩點;相交于一點m=0l與C的對稱軸重合或平行;相切于一點;相離

試題詳情

例4.       過拋物線的頂點作兩條互相垂直的弦OA,OB,證明:AB與拋物線的對稱軸交于定點。

試題詳情

分析  可分別設OA,OB所在的直線方程為:)由 解得A ,同理可得B(以-代替其中的k),直線AB的方程:=,另y=0解得與X軸交于一定點

[補充習題]

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四、作業(yè):教材P47----8,9

1、拋物線y2=6x,過點P(4,1)引一弦,使它恰好在點P平分,則此弦所在的直線方程為________

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2、直線y=x+b與拋物線y2=-3x交于A、B兩點,且線段中點的橫坐標為-2,則b=__________

試題詳情

3、拋物線x2=4y,過焦點F傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點,則線段AB的長為__________

試題詳情

4、拋物線頂點在原點,坐標軸為對稱軸,過焦點且與y軸垂直的弦長為16,則拋物線方程為_______

試題詳情

5、設O為原點,拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點,求

試題詳情

6、拋物線y2=2px(p>0),點P(1,2)、A(x1,y1)、B(x2,y2)都在拋物線上(1)求拋物線方程;(2)當PA、PB的斜率存在且傾斜角互補時,求y1+y2的值及直線AB的斜率

[答案]

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1、3x-y-11=0

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2、1/2

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3、8

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4、x2=±16y

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5、-

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6、(1)y2=4x;   (2)-1

[教后感想與作業(yè)情況]

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同步練習冊答案