1.3.1空間幾何體的表面積??柱錐臺的表面積

【教學目標】

一、看書P47---P49回答問題

1、直棱柱、正棱錐、正棱臺側面積是如何推導出的?特別的,關于棱柱、正棱錐、棱臺有什么側面積公式?

試題詳情

(棱柱棱錐棱臺側面積通過側面展開圖推導出的;S棱柱側=c×h/,S正棱錐側c×h/,S正棱臺側(c+c/)×h/,介紹直棱柱、正棱臺、正棱錐的概念)

試題詳情

2、圓柱、圓錐、圓臺有類似的結論嗎?如何得出?

(答:圓柱、圓錐、圓臺有類似的結論;

試題詳情

(1)圓柱側面展開圖是一個矩形,S圓柱=cl

試題詳情

(2)圓錐側面展開圖是一個扇形S圓錐側πl(wèi)

試題詳情

(3)圓臺的側面展開圖為一個扇環(huán)

試題詳情

S圓臺側πc(l+x)-πc/x=π[cl+(c-c/)x],=(c-c/)x=c/l, S圓臺側(c+c/)l

試題詳情

3、你能發(fā)現柱、錐、臺側面積公式間有什么內在聯系?柱錐臺間有什么內在聯系?

試題詳情

(答:

試題詳情

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四、例題

例1、已知底面為菱形的直棱柱,過不相鄰兩測棱的截面面積為Q1,Q2,求其側面積

解:設底面邊長為a,高為h,則S=4ah

試題詳情

Q1=AC.h,Q2=BD.h,a2=()2+()2=2ah=,S=2

    說明:柱、錐、臺的側面積公式可以直接用時用之,不能直接用時,可以用相加法或展開法。

試題詳情

練習:一個直角梯形上底、下底及高的比為2:4:,求它旋轉而成的圓臺的上底面、下底面面積及側面積的比(答:2:8:9)

試題詳情

例2、正方形ABCD是一個圓柱的軸截面,圓柱的半徑為r,一條繩子沿圓柱側面從A到C旋轉的最短路徑是多少?再旋轉一周呢?

試題詳情

試題詳情

解:將半個圓柱展開,最短路徑為A/C=r;再旋轉一周后為r

說明:求沿表面兩點間的最短路徑問題,一般用展開法

試題詳情

例3、斜三棱柱ABC-A1B1C1底面是邊長為2的正三角形,頂點A1在平面ABC內的射影O是三角形的中心,側棱AA1與AB的成角為450,求此三棱柱的表面積

試題詳情

試題詳情

解:過A1作A1D⊥AB于D,由于OD是A1D在平面ABC內的射影,AB⊥OD,D是AB的中點,這樣A1A=,AD=1=A1D,=2×1=2,同理=2。S×2×

試題詳情

BC⊥AO,AO為A1A在面ABC內的射影BC⊥A1A, A1A∥B1B,BC⊥B1B,B1BCC1為矩形,=2。S=2S=2+4+2

五、小結:求側面積的一般方法有展開法、公式法、相加法;求沿表面兩點間的最短路徑問題,一般用展開法

六、作業(yè):教材P57---習題1,3,4,8

【補充習題】

試題詳情

1、長方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)三度(共頂點的三條棱長)分別為a、b、c(a> b>c),則由A沿長方體表面到C1的最短路徑長為__________;(2)若其全面積為S,所有棱長和為E,則其對角線長為__________

試題詳情

2、圓錐被平行于底面的截面所截,若此截面為中截面(過高的中點的截面),分圓錐上下兩部分的側面積的比為___________;若此截面分高上下兩部分的比為λ,則它分圓錐上下兩部分的側面積的比為___________

試題詳情

3、正三棱錐側面積是底面積的2倍,高為3,則此三棱錐的表面積為________

試題詳情

4、一個側棱長為a斜棱柱,垂直于側棱的截面(稱直截面)的周長為c,則此三棱柱的側面積為____________(以三棱柱為例說明)

試題詳情

5、(1)類比“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論,如果一個直三棱柱一個側面面積為A,其余兩個側面積之和為F,則A與F的大小關系是_____

(2)如果一個直四棱柱一個側面面積為A,其余側面積之和為F,則A與F的大小關系是_____

(3)由(1)(2)你能猜想出一個什么命題,將之寫出,并說明真假(注:直棱柱為側棱垂直于底面的棱柱)。猜想命題______________________________________________,命題的真假_______

試題詳情

6、圓錐底面半徑為r,高為2r,求圓錐內接圓柱側面積的最大值。

試題詳情

7、如圖是一個煙筒設計的三視圖圖紙,現要往其表面貼瓷磚,若損耗定為5%,需要多少面積的瓷磚(保留整數,≈1.732)

試題詳情

8*、在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=a,AB=b(a>b),O1為底面A1B1C1D1的中心,且棱臺側面積與四棱錐O1―ABCD的側面積相等,求棱臺的高(兩底面間的距離),并說明是否總有解。

【答案】

試題詳情

1、(1);   (2)

試題詳情

2、1:3,

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3、27

試題詳情

4、ca

試題詳情

5、(1)A<F;(2)A<F;(3)直棱柱一個側面面積小于其他側面面積的和,真

試題詳情

6、設圓柱的底面半徑為x,高為h,則,h=2r-2x,圓柱的側面積S=2πxh

試題詳情

=4π(-x2+rx),當x=時,Smax=πr2

試題詳情

7、15115平方厘米

試題詳情

8*、取AD、A1D1的中點E、E1,ABCD的中心為O,則OO1為棱臺的高,設為h,EE1為棱臺的斜高,棱錐與棱臺的側面積相等,bEO1=(a+b)EE1,EE12=h2+,

試題詳情

EO12=h2+,代入有b2[h2+]=(a+b)2[h2+],當2b2>a2b>a>b時,方程有解h=

 

試題詳情

      1.3.2空間幾何體的體積(1)??-柱錐臺的體積

【教學目標】

2,掌握公式法求體積的方法,會用隔補法求空間幾何體的體積,會用等積法求點到平面的距離

試題詳情

二、過程與方法:

推導過程為:祖?原理→柱體體積棱錐(推廣到錐體)臺體

應用過程為:公式法(教材)、割補法、等積法

【教學難點】割補法(本節(jié)是課件)

【教學重點】公式的推導及總結

【教學流程】

一、公式推導:

通過一摞書演示,說明祖?原理:兩個登高的幾何體,若在所有高處的截面面積相等,則此兩個幾何體的體積相等

試題詳情

三、情感態(tài)度與價值觀:通過推導體會思維能力,通過匯總與練習,增強提煉的意識

1、由長方體的體積得到柱體的體積V=Sh

試題詳情

2、錐體的體積

試題詳情

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(1)三棱錐的體積:V++,而,,故V=3V,V三棱錐V棱柱Sh

試題詳情

(2)根據祖?原理,一般錐體體積VSh

試題詳情

3、臺體的體積:

臺體由錐體截得,以三棱臺為例,有

試題詳情

設臺體上下底面面積為S/、S,高為h,補成棱錐后上面小棱錐的高為x,則V=V大錐-V小錐S(x+h)-S/x=Sh+(S-S/)x,而,于是x=,代入V=Sh+(+)h=(S++S/)h

試題詳情

4、柱錐臺體積公式間的關系

試題詳情

V=ShV=(S++S/)hVSh

試題詳情

思考:如何求幾何體的體積?(1)公式法;(2)割補法

  二、公式應用

試題詳情

  例1、有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯,共重6kg,已知毛坯底面正六邊形邊長是12mm.高是10mm,內孔直徑是10mm,那么這堆毛坯約有多少個?(鐵的密度為7.8g/cm3

(教材P53---例1,此題可以上學生自己看)

練習:教材P54―1~4

試題詳情

例2、AB、CD分別在兩平行平面α、β內,AB⊥CD,AB=CD=a,α、β的距離為h,求四面體ABCD的體積

試題詳情

   解:【方法一】(割)α、β的距離為h,AB、CD的距離也是h,設AB、CD的公垂線為OH,則體積V=VC-AOB+VD-AOB=SAOB(CO+OD)=SAOBCD=(ah)a=a2h

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【方法二】(補)將之補成一個長方體,則四面體得體積V=V長方體-4V三棱錐-4×a2h

   說明:補的技巧是:分析出要補成的結果,先畫后找

試題詳情

例3、已知三棱錐P-ABC中,側棱兩兩垂直且都等于a,求點P到平面ABC的距離

試題詳情

解【方法一】由已知,△ABC是等邊三角形,且P在平面ABC內的射影O是△ABC的垂心(也是重心),PO即為所求。PO.CD=PC.PDPO== =

說明:該方法還是用的:作出??證出――指出――求出的方法

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【方法二】設點P到平面ABC的距離為h,VP-ABC=VC-PABS△ABCh=S△PAB.CP

試題詳情

h===

   說明1:此方法稱等體積法,其步驟一般為:設值??轉化為高好求的三棱錐的體積求

   說明2:原來的根據面積相等求一邊上的高稱等面積法。等面積法求高與等體積法求高統(tǒng)稱等積法

試題詳情

三、小結:1、求幾何體的體積方法有:公式法和割補法

2、求點到平面的距離的方法有:“作指證求”及等積法

【補充作業(yè)】

試題詳情

四、作業(yè):教材P57-----2,5,9

1、一個正四棱柱側面展開圖是一個邊長為4的正方形,則其體積為_______

試題詳情

2、在△ABC中,AB=2=BC,∠ABC=1200,將△ABC繞BC旋轉一周,所得旋轉體的體積為________,表面積為_________

試題詳情

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3、三棱臺ABC-A1B1C1中,AB:A1B1=1:2,則三棱錐A1-ABC,B1-A1BC,C-A1B1C1的體積比為_____________

試題詳情

4、(1)一個棱長為3a的正方體,無論從那個面看,其正中間都有一個打通底面邊長為a的正四棱柱洞,則此幾何體的體積是____________,表面積為___________

試題詳情

(2)已知一個火箭的上部為一個圓錐,中間是一個圓柱,下部是一個圓臺,其軸截面及尺寸如圖,則該火箭的體積為___________(結果可以包含π)

(3)一個三棱柱容器中盛有水,且側棱AA1=h,若側面AA1BB1水平放置時,液面恰好過AC、BC、A1C1、B1C1的中點,當底面ABC水平放置時,液面的高為_________

試題詳情

5、(1)一個斜棱柱,側棱長為a,垂直于側棱的一個截面面積為S,則此棱柱的體積為__________;(2)一個三棱柱一個側面面積為A,與其相對的側棱到該面的距離為d,則三棱柱的體積為__________

試題詳情

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6、“一個定正三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值”證明如下:

設正三角形的邊長為a,高為h,D為其內任意一點,D到三邊的距離分別為r1,r2,r3,則

試題詳情

S△ABC=S△BOC+S△COA+S△AOB,即:ah=a(r1+r2+r3)r1+r2+r3=h定值。仿此,類比出空間的一個結論,并證明

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   7、三棱錐S-ABC中,一條棱長為a,其余棱長都是1,求a為何值時,三棱錐的體積V最大,并求最大值

試題詳情

   8*(選作)、一個斜三棱柱ABC-A1B1C1,所有的棱長都是a,側棱AA1與底邊AB、AC的成角都是600

(1)求側棱與底面的成角的余弦值;(2)求此三棱錐的體積V及表面積S;(3)求AA1到對面BB1CC1的距離

【答案】

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1、4

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2、2π,(6+2)π

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3、1:2:4

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4、(1)20a3,72a2;(2)49π/3;(3)3h/4

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5、(1)Sa;  (2)Ad

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6、正四面體內任意一點到各面距離的之和為定值

證明:設正四面體ABCD每個面面積為S,高為h,其內有一點P,則其體積

試題詳情

V=Vp-ABC+VP-ABD+VP-ACD+VP-BCD,即:Sh=S(r1+r2+r3+r4)r1+r2+r3+r4=h定值

7*、設SC=a【方法一】取AB的中點H,過S作SO⊥CH于O,則

試題詳情

SO⊥AB,又SO⊥CHSO⊥平面ABC,

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V=SABCSO≤SABCSH=××,當且僅當SH=SO即O與H重合時,等號成立,此時平面SAB⊥平面ABC,a=SH=

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    總之,當a=時,Vmax=

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【方法二】取SC的中點D,則SC⊥平面ABD,V=VS-ABD+VC-ABD=SABDSC=

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,V2=(-a4+3a2),當a2=時,V2max=即,當a=時,Vmax=

     8*、(1)設A1在面ABC內的射影為O∵∠A1AC=∠A1AB=600∴O在∠BAC的平分線上,∠A1AO為側棱與底面的成角

   【方法一】過O作OD⊥AC于D,∵OD是A1D在平面ABC內的射影∴AB⊥A1D

AO=acos∠A1AO,AD=AOcos300=acos∠A1AOcos300,AD=AA1cos∠A1AB

試題詳情

∴cos∠A1AO==側棱與底面的成角的余弦值為

試題詳情

[方法二]∵cos∠(AA1,AC)=cos∠(AA1,AO)cos∠(AO,AC)即cos600=cos∠A1AOcos300∴cos∠A1AO==,側棱與底面的成角的余弦值為

試題詳情

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(2)V=SABCA1O=asin∠A1AO=

試題詳情

S=+2S+,ABB1A1≌ACC1A1=aasin600=

試題詳情

∵AO⊥BC ,AO為AA1在面ABC內的射影∴BC⊥AA1∵AA1∥BB1∴BC⊥BB1∴BB1C1C為正方形,=a2∴S=(+1)a2

試題詳情

(3)[方法一]設平面A1AO∩平面B1BCC1=EE1,則E、E1為BC、B1C1的中點,且平面AA1E1E⊥平面B1BCC1,過A1作A1H⊥EE1于H,則A1H⊥平面B 1BCC1,A1H即為所求。A1H=A1E1sin∠A1E1E==

試題詳情

[方法二] 設AA1到對面BB1CC1的距離為d,由5(2)知V=d,d=

 

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1.2.3空間幾何體的體積(3)??球的體積與表面積

【教學目標】

試題詳情

一、知識與技能:1、了解球的體積及表面積公式的推導過程

2、會用球的體積及表面積公式求相應的體積與面積

【教學重點】公式應用(本節(jié)是課件)

【教學難點】公式推導

【教學流程】

二、推進新課

試題詳情

一、復習柱錐臺的體積及表面積公式及推導方法

1、球的體積表面積如何求?

(1)整個球不易剖分,要求球的體積只要求半球的體積(這是我國南北朝時期的祖?與1653年意大利數學家Cavalieri共同的想法)

試題詳情

祖?:比較圓錐、半球、圓柱體積得到猜想V半球

試題詳情

Cavalieri:倒沙試驗得到V半球  

如何證明呢?

(2)半球被平行于大圓的面所截,高為x處,球的半徑為r,截面面積是_______π(r2-x2

(3)能否構造出一個學過的幾何體,使在高為x處的面積也是πr2-πx2

a,半球的半徑是r,所找?guī)缀误w的半徑也是r

b, πr2為一個圓柱的底面面積

c,據底面x,小的底面半徑也是x

e,找出底面半徑及高都為r的圓柱,找出以上底面為底面,下底面圓的圓心為頂點的圓錐

f,挖去圓錐即可

g,結論:一個半徑為r的半球的體積等于一個底面半徑何高都等于r的圓柱,挖去一個以上底面為底面,下底面圓心為頂點的圓錐的體積

試題詳情

(4)計算推導:V=πr2r-πr2r V

試題詳情

設想一個球有許多頂點在球心,底面都在球面上的準錐體組成,當分得無線小時,,錐體得高就無限趨近于r,于是rS1+rS2+rS3+……=r(S1+S2+S3+……)=rS

S=4πr2

試題詳情

2、公式應用

試題詳情

例1、教材P53---例2(可以看書)

練習:教材P54---5,6

思考1:球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍,體積及表面積變?yōu)樵瓉淼枚嗌俦叮?4倍,8倍)

試題詳情

思考2:球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,體積變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦??

(1)半徑;(2)半徑增加原來的2倍

說明:兩球的表面積的比是半徑的平方比,體積的比是半徑的立方比

試題詳情

例2、有一個正方體,球A與其各面相切,球B與各棱都相切,球C過各頂點,求球A、B、C的體積比(1:2:3

思考:矩形的外接圓的直徑是其對角線,長方體的外接球的直徑是什么?

試題詳情

例3、(1)平面△的三邊為a,b,c ,面積為S,求其內切圓的半徑。(2)妨此過程,求出一個四面體四個面面積為S1、S2、S3、S4,其體積為V,求其內切球的半徑。(3)求正四面體內切球半徑與高的比

試題詳情

解(1)三角形S=SAOB+SBOC+SCOA=(a+b+c)rr=

試題詳情

 

試題詳情

 (2)V=VO-ABC+VO-ACD+VO-ABD+VO-BCD=(S1+S2+S3+S4)rr=

試題詳情

(3)對于正四面體r==,故

【補充習題】

試題詳情

四、作業(yè):教材P57―6;P58―7,10

1、一個球外切圓臺上、下底面半徑分別為r、R,球的體積為_____________

試題詳情

2、(1)一個長方體有一個外接球,此外接球的直徑是長方體的__________;(2)若長方體三度為3,4,5,則其外接球的表面積為__________;(3)正方體的內切球與外接球的表面積比為________

試題詳情

3、半徑為R的三個球兩兩相切放在桌面上,第四個小球與三個球都外切,且與桌面也相切,則第四個小球與前每個球的體積比為__________

試題詳情

4、半徑為R的半球內有一個內接圓柱,則其內接圓柱側面積的最大值為_________

試題詳情

5、一個平面截球得到直徑是6cm的圓面,球心到此截面的距離為4cm,則此球的體積為______

試題詳情

6、棱長為a的正方體內有一個球與各棱都相切,求此球的體積

試題詳情

7、有一個軸截面為正三角形的倒置圓錐形容器內盛水的高度為h,放入一個球后水面恰好與球相切(如圖是其軸截面),求球的半徑

試題詳情

試題詳情

8*、地球可以近似看作一個球體,球面上任意一點由其經度和緯度來確定:如圖,球心為O,OA與赤道平面的成角稱點A的緯度(在南稱南緯,北稱北緯);規(guī)定為00經線,二面角W-NS-A的平面角稱點A的經度(東稱東經,西稱西經).設地球的半徑為R

(1)若A在北緯450東經1140,B在北緯450東經240,北緯450的截面圓記為⊙O1,求∠AOB及∠AO1B的大小

(2)北緯450的⊙O1上AB兩點的劣弧長記作L1,過AOB的截面圓中AB的劣弧長記作L2,計算并比較二者的大小

(3)若C在南緯300東經1800,D在南緯300的00經線上,南緯300的圓記作⊙O2,CD在⊙O2上劣弧的記作L1/,過COD的截面圓中CD的劣弧的長為L2/,比較L1/與L2/的大小

(4)由(2)(3)你能得到一個什么樣的結論?

[答案]

試題詳情

1、πrR

試題詳情

2、(1)體對角線;(2)50π;(3)1:3;

試題詳情

3、1:27

試題詳情

4、πR2

試題詳情

5、

試題詳情

6、球的半徑為,體積V=π()3=πa3

試題詳情

試題詳情

7、設球的半徑為r,則水面下圓錐的體積-球的體積=水的體積

試題詳情

π(r)23r-πr3=π()2h,r=

8*、(1)∠AO1B=900,∠AOB=600

試題詳情

(2)L1=πR>L2=πR

試題詳情

(3)L1/=πR>L2/=πR

(4)沿球面上兩點的弧長,過球心的截面圓劣弧長最短

試題詳情


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