1．對(duì)數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程進(jìn)行概括（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)明扼要的概括和總結(jié)）自然數(shù) →整數(shù)→有理數(shù)→無理數(shù)→實(shí)數(shù)

相關(guān)鏈接：數(shù)的發(fā)展里程

2．提出問題

    我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程，沒有實(shí)數(shù)根．我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？

    3．組織討論，研究問題

    我們說，實(shí)系數(shù)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．實(shí)際上，就是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，沒有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方會(huì)等于負(fù)數(shù)．解決這一問題，其本質(zhì)就是解決一個(gè)什么問題呢？（最根本的問題就是要解決－1的開平方問題．即一個(gè)什么樣的數(shù)，它的平方會(huì)等于－1．）

二、新課內(nèi)容：

引入新數(shù)，并給出它的兩條性質(zhì)

    根據(jù)前面討論的結(jié)果，我們引入一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：

    （1）；

    （2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立．

    有了前面的討論，引入新數(shù)，可以說是水到渠成的事．這樣，就可以解決前面提出的問題（－1可以開平方，而且－1的平方根是）．

    1．提出復(fù)數(shù)的概念

    根據(jù)虛數(shù)單位的第（2）條性質(zhì)，可以與實(shí)數(shù)b相乘，再與實(shí)數(shù)a相加．由于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結(jié)果寫成這樣，數(shù)的范圍又?jǐn)U充了，出現(xiàn)了形如 的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)．其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部

全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示，顯然有：

(1)N*NZQRC．(2)復(fù)數(shù)a+bi(a,b為實(shí)數(shù))

鞏固練習(xí)：

例1、下列數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？并分別指出這些復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部各是什么？4，2-3i,0,-+,5+,6i（教材P104例1）

練習(xí)、判斷下列命題是否正確：

（1）若a、b為實(shí)數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)

（2）若b為實(shí)數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)

（3）若a為實(shí)數(shù)，則Z= a一定不是虛數(shù)

例2、 實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝m(m-1)＋(m-1)i是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？ (教材P104例2)

練習(xí)：實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝m²+m-2＋(m²-1)i是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？

2．提出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等．也就是

由此容易得出：

例3、  已知x+y+(x-2y)i=2x-5+(3x+y)i,求實(shí)數(shù)x與y．

分析：因?yàn)閤，y∈R，所以由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，可列出關(guān)于x，y的方程組，解這個(gè)方程組，可求出x，y的值．

練習(xí)：教材P105---練習(xí)4

思考：兩個(gè)復(fù)數(shù)若不全是實(shí)數(shù)，能否比較大�。�

最簡(jiǎn)單的虛數(shù)單位i和0的大小如何？（若i>0，則i²>0,-1>0不成立；若i<0,則i²>0,-1>0不成立。這樣兩個(gè)復(fù)數(shù)只要不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小。）

例4、對(duì)于實(shí)數(shù)x，是否存在實(shí)數(shù)a，使3x²+(x-a+1)²i>27+(x²+a-ax-1)i，若存在，求出a的范圍集合；否則說明理由

解：x-a+1=0=x²+a-ax-1,且3x²>27, a<-2或a>4

三、歸納總結(jié)

（1）、虛數(shù)單位i的引入；

（2）、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：；

（2）、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念：虛數(shù)，純虛數(shù)，實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等。

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、復(fù)數(shù)z=sin2x-i(1-cos2x)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x=____________

2、設(shè)z=log₂(m²-3m-3)+ilog₂(m-3),若其實(shí)部的范圍是(0,1)，則實(shí)數(shù)m的范圍是___________

3、關(guān)于x的方程x²-(2i-1)x+2p-i=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)p的值或范圍

[答案]

1、kπ+,k∈Z

2、(4,)

3、p=1/8

備課資料：

        數(shù)系的發(fā)展歷程

數(shù)的概念是從生活、生產(chǎn)、科研等社會(huì)實(shí)踐中發(fā)展起來的，每一種數(shù)的發(fā)展均有兩個(gè)方向：一是其內(nèi)涵的增容、規(guī)范及應(yīng)用的日臻完善的縱向過程，二是對(duì)其出現(xiàn)的不可調(diào)和的矛盾而衍生新數(shù)的橫向發(fā)展，在這種縱橫交錯(cuò)中，數(shù)一步步走向系統(tǒng)完整。

一，正整數(shù)在勇往直前中成熟

人類最初只有“無”與“有”這兩個(gè)描寫一天有無獵物或是否見到同伴的詞。后來，從“有”中分化出“多”與“少”等模糊的量詞。由于具體記數(shù)的需要，人們開始用自己的手指，伸出一個(gè)手指去說明有一只兔子或抓住一只羔羊，正整數(shù)1就這樣誕生了，由1而有2、3、4……；為了表示更多的數(shù)，人們借助于用具來體現(xiàn)，由于用具選擇的不同，體現(xiàn)的規(guī)則也不盡相同，從而形成不同的位值數(shù)，如：我國(guó)以手指記數(shù)，指頭至十完結(jié)，十之后借助于繩子打結(jié)，形成“結(jié)繩記數(shù)”的十進(jìn)制規(guī)則，后逐漸以“結(jié)繩”與手指共同記數(shù)，成為世界上最早采用十進(jìn)制的國(guó)家；古希臘則“以石記數(shù)”，沿用古巴比倫的六十進(jìn)位制；而中美洲的馬雅人采用二十進(jìn)位制，等。

現(xiàn)在國(guó)際上記數(shù)符號(hào)――數(shù)字，為阿拉伯?dāng)?shù)字，實(shí)質(zhì)是文字誕生較早的印度首先發(fā)明和使用的，后傳入阿拉伯，十三世紀(jì)才由歐洲人將之譯成拉丁文而傳入歐洲。所以，在歐洲人看來，數(shù)字來自阿拉伯而稱阿拉伯?dāng)?shù)字，但在譯制過程中，不同時(shí)代隨社會(huì)文明的進(jìn)步，代碼及符號(hào)又不盡相同。至1522年，英國(guó)的Tonstall所寫的書中，才形成現(xiàn)在這種數(shù)字寫法。

這樣，加上一些運(yùn)算規(guī)則，形成了正整數(shù)體系的雛形，系統(tǒng)的定義則是在公理化思想、集合概念都出現(xiàn)后，由意大利的Peano于1891年在他的論文《關(guān)于數(shù)的概念》中提出的，稱自然數(shù)公理（Peano說的自然數(shù)即正整數(shù)，不含數(shù)字0），其要點(diǎn)是五條公理：①1是自然數(shù)；②1不是任何其他自然數(shù)的直接后繼者；③每個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)后繼者；④若a 的后繼者與b的后繼者相等，則a與b相等；⑤若一個(gè)自然數(shù)組成的集合S含有1，又若當(dāng)S含有任意數(shù)a時(shí)，它一定含有a的后繼者，則S含有全體自然數(shù)。這樣，正整數(shù)才真正走到成熟。

二，分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、零的引入，使數(shù)在纖纖細(xì)步的增容中完成量變的積累

隨社會(huì)的發(fā)展，分配及更精確丈量土地的需要，正整數(shù)已不夠用，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)。世界上最早有關(guān)分?jǐn)?shù)的記載，要數(shù)埃及的紙草文書，但遲至公元前1650年的Ahmes所著的《獲得一切奧秘的指南》，仍將分?jǐn)?shù)化成分子是1再加以計(jì)算；我國(guó)在公元前100年的《周髀算經(jīng)》中就有了具體分?jǐn)?shù)的計(jì)算，在其后的《孫子算經(jīng)》及《九章算術(shù)》中就明確總結(jié)了分?jǐn)?shù)的計(jì)算、表示方法，（只不過當(dāng)時(shí)分?jǐn)?shù)的表示方法是分子在上、分母在下、中間無橫線，且?guī)Х謹(jǐn)?shù)的整數(shù)部分又排在最上面）�，F(xiàn)今的分?jǐn)?shù)表示法，遲至1175年中亞西亞的Al-Hassan才在其著作中出現(xiàn)，同時(shí)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)西傳過程中與印度文化相結(jié)合，如：敘利亞的Al-Battanl于十世紀(jì)引入正切、余切時(shí)采用了小數(shù)，使分?jǐn)?shù)在編譯過程中改進(jìn)為另一面貌形式。

負(fù)數(shù)及運(yùn)算法則也是我國(guó)最先引入的：在《九章算術(shù)》中，以收入、余錢、入帳為正，付款、不足、減掉為負(fù)，并系統(tǒng)闡述了加減的運(yùn)算法則，因該書是對(duì)前人經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，因此實(shí)質(zhì)負(fù)數(shù)及其運(yùn)算規(guī)則比它要早些；至1299年，朱世杰編的《算學(xué)啟蒙》中有了負(fù)數(shù)乘除法的法則。歐洲對(duì)負(fù)數(shù)的處理是由意大利的Fibonacci提出后又不敢承認(rèn)，一段時(shí)間內(nèi)將之視作“假數(shù)”或“荒誕的數(shù)”，至Bcmbell才給出明確的定義，Girdrd將負(fù)數(shù)與正數(shù)等量齊觀，并用“-”表示負(fù)數(shù)，一直沿用至今。

三，跌宕起伏的無理數(shù)

遠(yuǎn)在公元前500年左右，古希臘著名的Pythagores學(xué)派就認(rèn)為：“萬物皆數(shù)，數(shù)皆可歸為整數(shù)或整數(shù)之比，此比稱公度比”，即現(xiàn)在的正有理數(shù)（因當(dāng)時(shí)歐洲還沒有負(fù)數(shù)及零的概念）；但在公元前五世紀(jì)時(shí)，該學(xué)派的一名成員Hippasus發(fā)現(xiàn)：“正方形的對(duì)角線與其一邊無公度比”，這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派成員大為驚慌――居然有人敢反對(duì)偉大的Pythagores！在爭(zhēng)論和大家的憤怒聲討中，犯了眾怒的Hippasus被拋入大海。

Pythagores     Descartes

Hippasus雖然死了，但他的“無公度比”的觀念并沒有隨之消亡。Plato學(xué)派的前驅(qū)Theodorus又證明了、、也沒有公度比，可惜這一學(xué)派又不愿接受無理數(shù)這一新概念。之后的Eudoxus及Euclid是通過“量”概念的引入，用幾何方法處理這種“無公度比”（用現(xiàn)在的話說，就是找近似的有理數(shù)來代替這個(gè)數(shù)），這又基本上將無理數(shù)抹殺。在東方的印度，也同樣在十二世紀(jì)仍將無理數(shù)當(dāng)作有理數(shù)加以處理。直至十九世紀(jì)的1872年，德國(guó)的Dedekind才將之分離出來，為區(qū)分以往的數(shù)而命名為無理數(shù)，將原有的可以化為整數(shù)比的數(shù)稱有理數(shù)，并將無理數(shù)與有理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，創(chuàng)建了實(shí)數(shù)理論；之后的1874年，德國(guó)的Cator驗(yàn)證了Dedekind理論的正確性，并證明了“實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)”的理論，至此，完成了真正意義上的實(shí)數(shù)理論。

四，無聊游戲中出現(xiàn)的復(fù)數(shù)

人們最早在研究方程時(shí)，認(rèn)為x²+1=0之類的方程必定無解，由于習(xí)慣用歷史來解釋現(xiàn)實(shí)與告訴未來，所以人們也就習(xí)慣地將“其有解”視作是永不可能的。1545年，意大利的Cardano在其著作《大術(shù)》中討論了這樣的問題：“是否可以將十分成二部分，使它們的積等于40”，用現(xiàn)在的話即解方程x²-10x+40=0，他大膽提出了兩個(gè)解5±(只不過當(dāng)時(shí)不這樣記)，Cardano將之稱作“詭辯量”，既然是詭辯量，自然在當(dāng)時(shí)也將之視作一種無聊的游戲（它標(biāo)志著虛數(shù)的誕生），正是這一游戲，27年后，意大利的Bembeli在其《代數(shù)學(xué)》中，用之完整地得到了一元三次方程的求根公式。

但，人們的觀念并沒有隨之帶來變化。如：Descartes在1637年的《幾何學(xué)》中，認(rèn)為它非實(shí)在，故起名為imaginary  number（虛數(shù)）！大科學(xué)家Newton也不承認(rèn)它，繼續(xù)把它當(dāng)作一種無聊的游戲；Leibniz更是發(fā)揚(yáng)這一傳統(tǒng)思想，稱：虛數(shù)是介于存在與不存在間的無聊的兩棲物。

至1747年，法國(guó)的D^/Alembert才將虛數(shù)與實(shí)數(shù)并列看待，并將實(shí)數(shù)與虛數(shù)統(tǒng)稱為數(shù)（當(dāng)時(shí)的實(shí)數(shù)實(shí)質(zhì)指的是有理數(shù)）；1777年，瑞士的Euler系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，并首次用i表示虛數(shù)單位，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)間關(guān)系；至1801年，德國(guó)的Guass系統(tǒng)地使用了i這個(gè)記號(hào)及運(yùn)算法則，將實(shí)數(shù)與虛數(shù)統(tǒng)稱復(fù)數(shù)，并將復(fù)數(shù)與幾何建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)理論走向了應(yīng)用。

五，計(jì)算機(jī)的問世，使“二進(jìn)制”這一古文明復(fù)活

自然界中存在著大量截然相反的狀態(tài)，如：有與無、大與小、高與底、通與斷，既然用十個(gè)手指可以用來表示十進(jìn)制數(shù)，那么用兩手或兩腳也可以記數(shù)，這樣就形成了二進(jìn)制記數(shù)法。在我國(guó)周朝的《易經(jīng)》中就記載了用不斷的橫“―”和斷開的橫“--”表示兩種相反的狀態(tài)，如果將“―”記作現(xiàn)在的1，而“--”視作現(xiàn)在的0，其實(shí)就形成了現(xiàn)在的二進(jìn)制，根據(jù)各種文獻(xiàn)考證，這一符號(hào)誕生于原始社會(huì)伏羲時(shí)代的“八卦”。但由于二進(jìn)制表示數(shù)很冗長(zhǎng)，人們并沒有在數(shù)學(xué)中引起重視，在我國(guó)，它卻成為算命的理論基礎(chǔ)壯大起來。

1698年，德國(guó)的Leibniz對(duì)中國(guó)傳去的“八卦”產(chǎn)生了濃厚的興趣，他預(yù)言：這將對(duì)科學(xué)研究非常重要，并提出了用機(jī)器代替人進(jìn)行邏輯思維活動(dòng)的設(shè)想，為此他還寫了一封熱情洋溢的信給當(dāng)時(shí)的康熙皇帝，希望與中國(guó)學(xué)者共同研究八卦，進(jìn)行文化交流。但當(dāng)時(shí)的“天朝大國(guó)”閉關(guān)自守，對(duì)之自然是“不屑一顧”。

至1847年，英國(guó)的Boole-George發(fā)表了《邏輯學(xué)的數(shù)學(xué)分析》，緊接著于1854年他又發(fā)表《思維規(guī)律》，建立了邏輯代數(shù)（俗稱Boole代數(shù)），但這一理論并沒有引起人們的重視；直到1936年，美國(guó)麻省理工學(xué)院的Shannon將邏輯代數(shù)用于電子電路后，人們開始認(rèn)識(shí)到：它是電路設(shè)計(jì)的理論根據(jù)和主要分析手段，緊接著于1946年，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)問世，二進(jìn)制被用來作為計(jì)算機(jī)的基本數(shù)而引起人們的重視；又為解決它表示數(shù)太過冗長(zhǎng)的致命弱點(diǎn)，開發(fā)出八進(jìn)制、十六進(jìn)制等等。這樣，數(shù)沖破了十進(jìn)制原有的包圍，形成了應(yīng)用數(shù)學(xué)的燎原之勢(shì)。

總之，數(shù)的發(fā)展歷程基本呈現(xiàn)：出現(xiàn)早、承認(rèn)慢、系統(tǒng)理論互關(guān)聯(lián)的特點(diǎn)。

附錄      數(shù)的發(fā)展歷程一覽表

年代

對(duì)應(yīng)中國(guó)年代

國(guó)家

主       要         成            就

舊石器晚期

伏羲時(shí)代

中國(guó)

八卦圖出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)與二進(jìn)制的誕生

-4200~-2200

黃帝族成契時(shí)代~唐堯起時(shí)期

中國(guó)

象形字誕生，有《洛書》《河圖》數(shù)學(xué)文獻(xiàn)

巴比倫

出現(xiàn)以石記數(shù)及六十進(jìn)位制

埃及

象形字出現(xiàn)

-1850

夏槐王朝

埃及

紙草文書中有了分?jǐn)?shù)記載

-1650

夏發(fā)王朝

埃及

Ahmes紙草文書中，將分?jǐn)?shù)分子化為1進(jìn)行計(jì)算

-600

周定王5年

巴比倫

泥版文書中以“□”代表零

-400左右

周安王2年

希臘

Hippasus提出了有無理數(shù)存在

-300

周赦王15年

希臘

Euclid《幾何原本》用近似有理數(shù)取代無理數(shù)

-100

漢武帝天漢元年

中國(guó)

《周髀算經(jīng)》記載了具體分?jǐn)?shù)的計(jì)算

月1世紀(jì)

西漢

美國(guó)

印第安人馬雅族用“□”表示零

100-200

東漢

中國(guó)

《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》含有了分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則及負(fù)數(shù)的概念

850

唐宣宗大中4年

印度

Mahavira寫成《算術(shù)精要》，提出零的運(yùn)算法則

920

梁末帝貞明5年，契丹太祖神冊(cè)5年

敘利亞

Al-Battanl引入小數(shù)

1299

元成宗大德3年

中國(guó)

朱世杰《算學(xué)啟蒙》有了負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

1522

明世宗嘉靖元年

英國(guó)

Tonstall首用阿拉伯?dāng)?shù)字

1545

明世宗嘉靖24年

意大利

Cardana引入詭辯量（復(fù)數(shù)）

1572

明隆慶6年

意大利

Bcmbelli用復(fù)數(shù)得出一元三次方程的通解

1585

明萬歷13年

比利時(shí)

Stevin《論十進(jìn)制》出版

1620

明泰昌元年

荷蘭

Girard用“-”表示負(fù)數(shù)

1637

清崇德2年，明崇禎10年

法

Descartes命名虛數(shù)imaginary  number

1689

清康熙28年

德

Leibniz指出八卦對(duì)科學(xué)研究很重要，提出了用機(jī)器代替人進(jìn)行邏輯思維活動(dòng)的設(shè)想

1747

清乾隆12年

法

D^/Alem將有理數(shù)與虛數(shù)同樣看待

1777

清乾隆42年

瑞士

Euler創(chuàng)立復(fù)數(shù)論

1801

清嘉慶6年

德

Guass系統(tǒng)將復(fù)數(shù)與幾何建立關(guān)系

1847

清道光27年

英

Boole創(chuàng)立邏輯代數(shù)

1872

清同治11年

德

Dedekind命名有理數(shù)、無理數(shù)與實(shí)數(shù)

1874

清同治13年

德

Cantor證明實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)

1891

清光緒17年

意大利

Peano提出正整數(shù)公理

1936

民國(guó)25年

美

Shannon將邏輯代數(shù)用于電子電路

1946

民國(guó)35年

美

第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)問世

3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（1）――加減與乘法

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]復(fù)數(shù)的加、減、乘運(yùn)算

[教學(xué)難點(diǎn)]復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式

[教學(xué)過程]

1、復(fù)數(shù)的加法與多項(xiàng)式加法類似：a+bi+(c+di)=(a+c)+(c+d)i兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)

  容易驗(yàn)證：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即：z₁+z₂=z₂+z₁,(z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃)

  2、復(fù)數(shù)減法怎么辦？實(shí)數(shù)當(dāng)中，減法是加法的逆運(yùn)算，即a+b=c,b稱c與a的差，記作c-a

  同理，對(duì)于復(fù)數(shù)，c+di+(x+yi)=a+bi,x+yi也稱a+bi與c+di的差，記作(a+bi)-(c+di)

由加法定義，c+x=a,d+y=b,解得x=a-c,y=b-d,于是a+bi-(c+di)=(a-c)+(c-d)i兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)

  你能總結(jié)出復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的一般規(guī)律嗎？

兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減，就是把他們的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行加減

 練習(xí)：教材P108----1

3、復(fù)數(shù)的乘法：．

指出這一法則也是一種規(guī)定，由于它與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則一致，因此，不需要記憶這個(gè)公式．注意i²=-1

復(fù)數(shù)乘法也滿足交換律、結(jié)合律以及分配律．

練習(xí)教材P108---2

思考：a>0時(shí)，方程x²+a=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解是什么？(±i)

例1、計(jì)算求．

此例的解答可由學(xué)生自己完成．（a²+b²）

說明：將a-bi稱a+bi的共軛復(fù)數(shù)，記作=a-bi

思考1：一個(gè)復(fù)數(shù)z，什么情況下是實(shí)數(shù)？(=z)

思考2：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，你能將x²+y²分解因式嗎？（x²+y²=(x+yi((x-yi))

例2、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x²+2x+5,

解：x²+2x+5=(x+1)²+4=(x+1+2i)(x+1-2i)

練習(xí):教材P108---3,4,5

，=a-bi，一個(gè)復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)=z

[作業(yè)]教材P111---1,2,5,6,10

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、z₁,z₂分別為非零復(fù)數(shù)，A=z₁+z_2,B=z₁+z₂,問A、B能否比較大小，如果可以，比較它們的大��；不能說明理由

2、判斷和什么關(guān)系

[答案]

1、可以比較大小，A≤B

2、相等

備課資料：復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律及乘法對(duì)加法的分配律證明過程

復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律．證明如下。

設(shè)，，

（1）∵

   ∴        

（2）∵

∴            

（3）∵

∴      

3.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（2）――乘方與除法

[教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]復(fù)數(shù)的乘方、除法運(yùn)算

[教學(xué)難點(diǎn)]復(fù)數(shù)綜合運(yùn)算

[教學(xué)過程]

二、新課內(nèi)容：

1、復(fù)數(shù)乘方與實(shí)數(shù)乘方類似

  z,z₁,z₂是復(fù)數(shù)，m、n為正整數(shù)，則z^mzⁿ=z^m+n,(z^m)ⁿ=z^mn,(z₁z₂)ⁿ=z₁ⁿz₂ⁿ

真正計(jì)算時(shí)，涉及了i的乘方，計(jì)算i¹,i²,i3,i⁴，i⁵的值，由之你能得到什么結(jié)論？

結(jié)論：i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i,i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i

例1、設(shè)，求證：（1）；（2）

說明：（1）實(shí)數(shù)集中的乘法公式在復(fù)數(shù)集中仍然成立；（2）復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算也是乘方，乘除，最后加減，有括號(hào)應(yīng)先處括號(hào)里面的．

變形1：如果，則與還成立嗎？（成立）

變形2：能寫出x³=1的三個(gè)根嗎？（1，，）

2、復(fù)數(shù)的除法：復(fù)數(shù)的除法也是乘法的逆運(yùn)算，z₁z=z₂,稱z為z₂和z₁的商 ，記作z=，這樣計(jì)算除法的總體思路是變成乘法計(jì)算

例2、計(jì)算

解：[方法一]設(shè)=x+yi,(x,y∈R),于是2-i=(3-4i)(x+yi)=3x+4+(3y-4x)i,,于是

，解得，所以=+i

說明：根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，常常將除法變成乘法，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到除法的值。

在學(xué)習(xí)無理數(shù)時(shí)，要花簡(jiǎn)一個(gè)分母含有根式的式子，我們常常進(jìn)行分母有理化，如=

=2+，相應(yīng)的復(fù)數(shù)是否分母也可以實(shí)數(shù)化呢？又如何進(jìn)行實(shí)數(shù)化？

[方法二] ===+i

說明：復(fù)數(shù)除法的另一方法是分母實(shí)數(shù)化，實(shí)數(shù)化的具體技巧是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)

例3、求S=的值

解：S=1+2i+3i²+4i³+…………+100i⁹⁹               ①

iS=   i+2i²+3i³+…………+99i⁹⁹+100i¹⁰⁰        ②

①-②得：(1-i)S=1+i+i²+i³+……+i⁹⁹-100=-100=-100,S===-50(1+i)

備用課堂練習(xí)：教材P110----練習(xí)題

三、小結(jié)：i⁴ⁿ=1,i⁴ⁿ⁺¹=i,i⁴ⁿ⁺²=-1,i⁴ⁿ⁺³=-i

 復(fù)數(shù)乘方與實(shí)數(shù)乘方類似

復(fù)數(shù)除法有兩個(gè)思路，一根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，常常將除法變成乘法，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到除法的值；二是分母實(shí)數(shù)化，實(shí)數(shù)化的具體技巧是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、求7-24i的平方根

2、求函數(shù)f(n)=()ⁿ+()ⁿ，n∈N的值域

[答案]

1、±(4-3i)

2、{2,0,-2}

3.3復(fù)數(shù)的幾何意義

      [教學(xué)目標(biāo)]

[教學(xué)重點(diǎn)]復(fù)數(shù)減法法則．

[難點(diǎn)]對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、引入新課

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)a+bi取決于什么？能否用幾何形式來體現(xiàn)？（板書課題：復(fù)數(shù)的幾何意義）

二、新課內(nèi)容

1、復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)取決于點(diǎn)(a,b),而后者可以通過點(diǎn)的坐標(biāo)來體現(xiàn)，這樣建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面稱復(fù)平面，x軸稱實(shí)軸，反應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，y軸稱虛軸，除原點(diǎn)外表示復(fù)數(shù)的虛部。

這樣：復(fù)數(shù)a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(a,b)

思考：實(shí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的位置落在___________；唇虛數(shù)呢？___________

2、點(diǎn)Z(a,b)又與向量對(duì)應(yīng)，這樣得到

這樣，復(fù)數(shù)z=a+bi說成點(diǎn)Z或向量，相等的向量表示相同的復(fù)數(shù)

向量的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|a+bi|=

思考：|z|,||有什么關(guān)系？

練習(xí)：教材P130----練習(xí)1、2、3、4

例1、設(shè)z∈Z，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合圖形是是什么？

(1)|z|=2         (2)2<|z|<3    教材113頁例3

3、復(fù)數(shù)加減法的有什么幾何意義？

可以根據(jù)向量加減法的幾何意義得到。設(shè)z=+i（，∈R），z₁=+i（，∈R），對(duì)應(yīng)向量分別為，如圖

由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=（-）+（-）i，所以z-z₁=z₂，z₂+z₁=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以 為一條對(duì)角線， ₁為一條邊畫平行四邊形，那么這個(gè)平行四邊形的另一邊 ₂所表示的向量OZ₂就與復(fù)數(shù)z-z₁的差（-）+（-）i對(duì)應(yīng)，如圖．

在這個(gè)平行四邊形中與z-z₁差對(duì)應(yīng)的向量是只有向量 ₂嗎？ 

還有 ． 因?yàn)镺Z₂ Z₁Z，所以向量 ，也與z-z₁差對(duì)應(yīng)．向量 是以Z₁為起點(diǎn)，Z為終點(diǎn)的向量．

概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z-z₁與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng)．

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；（2）|z+i|+|z-i|=4；（3）|z+2|-|z-2|=1．

   思考：對(duì)于實(shí)數(shù)a,b有|ab|=|a||b|,對(duì)于向量則有||≤||||,對(duì)于復(fù)數(shù)|z₁z₂|與|z₁||z₂|有什么關(guān)系，證明你的結(jié)論

[補(bǔ)充習(xí)題]

1、復(fù)數(shù)z₁,z²分別滿足|z₁|=1,|z₂|=|z₂-2-2i|,則|z₁-z₂|的范圍是_______________

2、(1+i)z₁=-1+5i,z₂=a-2-i,|z₁-|<|z₁|,求a的取值范圍

[答案]

1、≥-1，

 2、1<a<7

                                復(fù)數(shù)的復(fù)習(xí)

1、概念

⑴形如 的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)．其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部

⑵兩個(gè)復(fù)數(shù)相等充要條件是它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等

⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)，只要含有實(shí)數(shù)就不能比較大小

   2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算：

⑴a+bi±(c+di)=(a±c)+(c±d)i，兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減，就是把他們的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行加減

⑵，與多項(xiàng)式乘法類似

⑶復(fù)數(shù)的乘方遵循實(shí)數(shù)的乘方法則，注意i²=-1

⑷復(fù)數(shù)的除法，一是設(shè)出按乘法及復(fù)數(shù)相等求出，二是進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化（分子、分母同成分母的共軛復(fù)數(shù)）

3、復(fù)數(shù)的幾何意義:

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)向量

⑴兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減，就是把他們的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行加減

⑵復(fù)數(shù)模的性質(zhì)：|a+bi|=，

，，；（）；。

   ⑶共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：=a-bi

 z∈Rz=;虛數(shù)z為純虛數(shù)z+=0;=, =,=,z=|z|²,

例1、z是虛數(shù)，ω=z+,求證：ω∈R的充要條件是|z|=1（教材P118---6）

例2、z₁,z₂,z₃∈C，|z₁|=|z₂|=1,|z₁+z₂|=,求|z₁-z₂|（教材P1118---7）

例3、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解關(guān)于a,b,c的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0

解：原方程可以化為a(x+)²=-c, (x+)²=，b²-4ac≥0時(shí)，x=根為實(shí)數(shù)；如果b²-4ac<0, x+=±，x=跟為一對(duì)共軛虛數(shù)

練習(xí)1：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x³+8=0

練習(xí)2：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x³+16

說明：對(duì)于系數(shù)為實(shí)數(shù)的方程，如果有虛數(shù)根，其共軛復(fù)數(shù)也是其一個(gè)根