9．將函數(shù)的圖象按向量平移后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是           ．

10．若實數(shù)x，y滿足不等式組則函數(shù)的最大值為           ．

11．已知菱形的邊長為2，.將三角形沿對角線折到，使得二面角的大小為，則與平面所成角的正弦值是

           ；四面體的體積為           ．

12．橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過焦點F₁的直線交橢圓于兩點，

則的周長為           ；若兩點的坐標(biāo)分別為和，且

的面積是4，則的值為             ．

13．對于任意兩個正整數(shù)，定義運算（用表示運算符號）：當(dāng)都是正偶數(shù)或都是正奇數(shù)時，；而當(dāng)中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，．例如，.在上述定義中，集合的元素有               個．

14．已知是定義在上不恒為零的函數(shù)，對于任意的，都有成立． 數(shù)列滿足，且.則數(shù)列的通項公式__________________ .

得分

評卷人

15．（本小題滿分13分）

已知函數(shù)的最小正周期為.

   (Ⅰ)試求的值；

(Ⅱ) 在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊.若

的面積,求的值.

得分

評卷人

16. （本小題滿分14分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求點到平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小.

得分

評卷人

17．（本小題滿分13分）

在袋子中裝有10個大小相同的小球，其中黑球有3個，白球有，且個，其余的球為紅球．

(Ⅰ)若，從袋中任取1個球，記下顏色后放回，連續(xù)取三次，求三次取出的球中恰有2個紅球的概率；

(Ⅱ)從袋里任意取出2個球，如果這兩個球的顏色相同的概率是，求紅球的個數(shù)；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，從袋里任意取出2個球．若取出1個白球記1分，取出1個黑球記2分，取出1個紅球記3分．用ξ表示取出的2個球所得分數(shù)的和，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望．

得分

評卷人

18．（本小題滿分13分）

已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，右準線與一條漸近線的交點坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求雙曲線的方程；

（Ⅱ）過右焦點的直線(不與x軸重合)與雙曲線交于兩點，且直線、分別交雙曲線的右準線于、兩點，求證：為定值．

得分

評卷人

19．（本小題滿分13分）

設(shè)數(shù)列的首項，前項和為，且點在直線(為與無關(guān)的正實數(shù))上．

(Ⅰ) 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

(Ⅱ) 記數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足．

設(shè)，求數(shù)列的前項和；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，設(shè)，證明．

得分

評卷人

20．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；

(Ⅱ)求證：；

(Ⅲ)對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè)函數(shù)，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

北京市朝陽區(qū)高三統(tǒng)一練習(xí)二

              數(shù)學(xué)理科答案            2009.5

一、選擇題:

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

A

C

D

A

D

A

(9)  ;     (10) 2;           (11)  ;    

 (12)  16,;             (13)  15;          (14) .

(15) 解: （Ⅰ）因為

因為函數(shù)的最小正周期為,且,故.   ………………………6分

 (Ⅱ)由（Ⅰ）可知，.

由得，,

所以.

又因為,所以,

所以,即.

又因為,且，所以.

由余弦定理得.

 解得（舍負），所以.          ………………………13分

(16) 證明：（Ⅰ）因為底面，

所以是與平面所成的角.

由已知， 所以.

易求得，，又因為，

所以， 所以.

因為底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.                             ………………………4分

解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因為平面,

所以平面平面，

過作于，（如圖）則平面，

所以線段的長度為點到平面的距離.

在中，易求得,  所以.

所以點到平面的距離為.                     ………………………9分

（Ⅲ）設(shè)為中點. 連結(jié)，由于底面，

且平面，則平面平面.

 因為，所以平面.

過作，垂足為，連結(jié)，

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易證明∽，則，

因為，，，

所以.

在中，因為，所以，

所以二面角的大小為.        ………………………14分

解法二:

因為底面，

所以是與平面所成的角.

由已知，

所以.

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

由已知，為中點.

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，

， .

因為, ,

所以，.

因為，所以平面.         ………………………4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

由  得   解得，

所以.    又因為,

所以點到平面的距離.   ………………………9分

（Ⅲ）因為平面，所以是平面的法向量， 易得.

由（Ⅱ）知平面的法向量，

所以.

所以二面角的大小為.        ………………………14分

(17) 解：（Ⅰ）設(shè)“從袋中任取1個球是紅球”為事件A，則．

所以，．

答：三次取球中恰有2個紅球的概率為．    ………………4分

（Ⅱ）設(shè)“從袋里任意取出2個球，球的顏色相同”為事件B，則

整理得：，解得n=3（舍）或n=4．

所以，紅球的個數(shù)為3個．        ………………………8分

（Ⅲ）的取值為2，3，4，5，6，且

所以的分布列為

2

3

4

5

6

P

所以， ………………………13分

(18) 解：（Ⅰ）雙曲線的右準線為，漸近線為.

因為右準線與一條漸近線的交點坐標(biāo)為，

所以解得．

于是，雙曲線的方程為．            ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知點的坐標(biāo)分別為，右準線為．

當(dāng)直線斜率不存在時，點的坐標(biāo)分別為，

則直線方程分別為，

令，得的坐標(biāo)分別為，

此時．

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

由得．

因為直線與雙曲線交于兩點，

所以，，解得．

設(shè)兩點坐標(biāo)分別為，

則，．

則直線方程分別為，

令，得的坐標(biāo)分別為，

所以

            ．

所以，為定值．                 ………………………13分

 (19) 解：(Ⅰ)因為點在直線（為與無關(guān)的正實數(shù)）上，

所以，即有．

當(dāng)時，．

   由，解得，所以．

當(dāng)

         ①

          ②

①－②，得 ，整理得．

綜上所述，知 ，因此是等比數(shù)列． …………………5分

(Ⅱ)  由(Ⅰ) 知，從而，

所以．

因此，是等差數(shù)列，并且．

所以，

        ．                       ………………………10分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)知，則．   

 將用二項式定理展開，共有項，其第項為

        同理，用二項式定理展開，共有項，第項為，其前項中的第項為，

        由，

        得又，

∴ ．                        ………………………13分

(20) (Ⅰ)解：因為，令，解得，

令，解得，

所以函數(shù)在上遞減，上遞增，

所以的最小值為．                   ………………………3分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即

兩端同時乘以得，把換成得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．

由得，，， ，…

         ，．

將上式相乘得

．………………………9分

（Ⅲ）設(shè).

    則．

   所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．

因此時取得最小值0，則與的圖象在處有公共點．

設(shè)與存在 “分界線”，方程為.

由在恒成立，

則在恒成立.

所以成立.因此.

下面證明成立.

 設(shè)，.

 所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.

        因此時取得最大值0，則成立.

所以，.                          ………………………14分