①函數(shù)y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是.

②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).

④把函數(shù)

⑤函數(shù)

其中真命題的序號(hào)是       ① ④    （（寫出所有真命題的編號(hào)））

解答：①，正確；②錯(cuò)誤；③，和在第一象限無交點(diǎn)，錯(cuò)誤；④正確；⑤錯(cuò)誤．故選①④．

【點(diǎn)評(píng)】  本題通過五個(gè)小題全面考查三角函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí). 三角函數(shù)的概念，在今年的高考中，主要是以選擇、填空的形式出現(xiàn)，每套試卷都有不同程度的考查.預(yù)計(jì)在2008年高考中，三角函數(shù)的定義與三角變換仍將是高考命題的熱點(diǎn)之一.

【例2】（2007年安徽）函數(shù)的圖象為C：

①     圖象關(guān)于直線對(duì)稱;

②     ②函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);

③由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象.

   以上三個(gè)論斷中正確論斷的個(gè)數(shù)為

  （A）0                           （B）1                        （C）2                 （D）3

解答 C  ①圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)k=1時(shí)，圖象C關(guān)于對(duì)稱；①正確；②x∈時(shí)，∈(－，)，∴ 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；②正確；③由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到，得不到圖象，③錯(cuò)誤；∴ 正確的結(jié)論有2個(gè)，選C.

【點(diǎn)評(píng)】  本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)圖象的平移變換.

【例3】  （2007年安徽）已知為的最小正周期，

，且a?b．

求的值．

解答：因?yàn)?sub>為的最小正周期，故．

因，又．故．

由于，所以

．

【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力和推理能力．屬于三角函數(shù)求值問題.

     本類問題一般有三種形式：①給式求值，②給值求值，③給值求角.其一般解法是：將角化為特殊角或?qū)⑷�角函�?shù)化為同角、同名函數(shù)進(jìn)行合并與化簡(jiǎn)，最后求出三角函數(shù)的值來.

【例4】  （2007年天津）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．

解答：（Ⅰ）解：．

因此，函數(shù)的最小正周期為．

（Ⅱ）解法一：因?yàn)?sub>在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，，，

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．

解法二：作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：

由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．

【點(diǎn)評(píng)】  本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力．

【例5】 （2007年四川）如圖，l₁、l₂、l₃是同一平面內(nèi)的

三條平行直線，l₁與l₂間的距離是1， l₂與l₃間的距離是2，

正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l₁、l₂、l₃上，則△ABC的邊長(zhǎng)

是                     （   ）

（A）                  （B）          

（C）                  （D）

解答：D  因?yàn)?i>l₁、l₂、l₃是同一平面內(nèi)的三條平行直線，

l₁與l₂間的距離是1，l₂與l₃間的距離是2，所以過A作

l₂的垂線，交l₂、l₃分別于點(diǎn)D、E，如圖，則∠BAD=

∠BAC+∠CAE，即∠BAD=60°+∠CAE,記正三角形ABC

的邊長(zhǎng)為a,兩邊取余弦得：

，

即

整理得，故選D. 

【點(diǎn)評(píng)】  本題以平面幾何為平臺(tái)，主要考查運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.本題意圖與新課標(biāo)接軌，需引起高三備考學(xué)生的密切關(guān)注.

【例6】 （2007年全國Ⅰ）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．

（Ⅰ）求的大��；

（Ⅱ）求的取值范圍．

解：（Ⅰ）由，根據(jù)正弦定理得，所以，

由為銳角三角形得．

（Ⅱ）

．

由為銳角三角形知，

，． ，

所以．由此有，

所以，的取值范圍為．

【點(diǎn)評(píng)】 (1)問考查正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，當(dāng)屬容易題，（2）問主要考查了三角函數(shù)兩角和與差的正余弦公式應(yīng)用，但題干中△ABC為銳角三角形是不可忽略的條件，必須在分析題目時(shí)引起足夠的重視.

【例7】 如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，

乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于

甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船

航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向

的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？

解法一：如圖，連結(jié)，由已知，

，

，

又，

是等邊三角形，

，

由已知，，

，

在中，由余弦定理，

．

．

因此，乙船的速度的大小為（海里/小時(shí)）．

答：乙船每小時(shí)航行海里．

解法二：如圖，連結(jié)，由已知，，，

，

．

在中，由余弦定理，

．

．

由正弦定理

，

，即，

．

在中，由已知，由余弦定理，

．

，

乙船的速度的大小為海里/小時(shí)．

答：乙船每小時(shí)航行海里．

【點(diǎn)評(píng)】 本題是解斜三角形的應(yīng)用題，考查了正、余弦定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定.求解本類問題時(shí)應(yīng)按照由易到難的順序來求解，最重要的是首先要對(duì)圖形進(jìn)行有效分割，便于運(yùn)用正、余弦定理.

    由于近年高考題突出以能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)和應(yīng)用性的考查，故常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處出題.用三角函數(shù)作工具解答應(yīng)用性問題雖然是高考命題的一個(gè)冷點(diǎn)，但在備考時(shí)也需要我們?nèi)リP(guān)注.

【例8】  已知函數(shù)，

（I）證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（II）對(duì)于給定的閉區(qū)間，試說明存在實(shí)數(shù)       ，當(dāng)時(shí)，在閉區(qū)間上是減函數(shù)；

（III）證明：

解答：(Ⅰ)證明：由題設(shè)得

又由≥,且t＜得t＜，即

＞0

由此可知，為R上的增函數(shù)

(Ⅱ)證法一：因?yàn)?sub>＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得

＜0，即t＞

在閉區(qū)間[a,b]上成立即可

因此y=在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，故在閉區(qū)[a,b]上有最大值，設(shè)其為k，t＞k時(shí), ＜0在閉區(qū)間[a,b]上恒成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù)

證法二：因?yàn)?sub>＜0是為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實(shí)數(shù)k，使得t＞k時(shí)

＜0，

在閉區(qū)間[a,b]上成立即可

令則＜0()當(dāng)且僅當(dāng)

＜0()

而上式成立只需

即

成立　取與中較大者記為k，易知當(dāng)t＞k時(shí)，＜0在閉區(qū)[a,b]成立，即在閉區(qū)間[a,b]上為減函數(shù)

(Ⅲ)證法一：設(shè)

易得

≥

令則易知當(dāng)x＞0時(shí), ＞0;當(dāng)x＜0, ＜0

故當(dāng)x=0時(shí)，取最小值，所以

≥，

于是對(duì)任意x、t，有≥，即≥

證法二：設(shè)=

≥，當(dāng)且僅當(dāng)

≥0

只需證明

≤0，即

≥1

以下同證法一

證法三：設(shè)=，則

易得當(dāng)t＞時(shí), ＞0; t＜時(shí), ＜0，故當(dāng)t=取最小值即

≥

以下同證法一

證法四:

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為，易知點(diǎn)B在直線y=x上，令點(diǎn)A到直線y=離為d，則

≥

以下同證法一

【點(diǎn)評(píng)】  本題是遼寧卷的壓軸題，在三角函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，最值，不等式恒成立的有關(guān)問題的交匯處命題，真正體現(xiàn)了從整體的高度和思維價(jià)值的高度上設(shè)計(jì)試題的宗旨，注重了學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性.

(5) 三年的“平面向量”考了哪些內(nèi)容？

平面向量是高中數(shù)學(xué)的三大數(shù)學(xué)工具之一，具有代數(shù)和幾何的雙重性.向量是數(shù)形結(jié)合的典范，是高考數(shù)學(xué)綜合題命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的熱點(diǎn).主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有：

向量基本概念及相關(guān)的基本理論在高考試題中可以以選擇、填空的形式出現(xiàn)，特別是向量加減法的運(yùn)算及其幾何意義在試題的難易程度上可以偏難一些。

【例1】 （2006年北京卷）若三點(diǎn)共線，則的值等于              .

解：， ，依題意，有（a－2）?（b－2）－4＝0

即ab－2a－2b＝0所以＝

【例2】 （2006年上海） 如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是      （      ）

（A）＝    

（B）＋＝

（C）－＝

（D）＋＝0

解：由向量定義易得， （C）選項(xiàng)錯(cuò)誤；.

二、向量的數(shù)量積與運(yùn)算律

【例3】 （2006年遼寧卷）設(shè),,,點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是            （      ）

(A)   (B)  (C)    (D)

解答：

解得: ,因點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),所以,即滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選擇答案B.

【點(diǎn)評(píng)】 本題考查向量的表示方法,向量的基本運(yùn)算,定比分點(diǎn)中定比的范圍等等.

【例4】 （2006年遼寧） 已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為

(I) 證明線段是圓的直徑;

【解析】(I)證明1:

整理得:

設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則

即

整理得:

故線段是圓的直徑

證明2:

整理得:

……..(1)

設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

即

去分母得:

點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

證明3:

整理得:

……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

展開并將(1)代入得:

故線段是圓的直徑

【點(diǎn)評(píng)】本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算.

【例5】 （2005年全國卷）點(diǎn)在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量v=(4,-3)（即點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位）．設(shè)開始時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-10，10），則５秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為

（A）（-2，4）  （B）（-30，25）  （C）（10，-5）  （D）（5，-10）

解：設(shè)5秒后點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,則,

∴=(10,-5),選(C)

【例6】  （2006年湖北卷）設(shè)函數(shù) f（x）=a?（b+c），其中向量a=（sinx,-cosx），b=（sinx,-3cosx），c=（-cosx,sinx），x∈R.

（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）將函數(shù)的圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長(zhǎng)度最小的d.

   解：(Ⅰ)由題意得，f(x)＝a?(b+c)=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)

               ＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因?yàn)閗為整數(shù)，要使最小，則只有k＝1，此時(shí)d＝（?，?2）即為所求.

   【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力。

   【例7】 （2005年江蘇卷）△ABC中，則△ABC的周長(zhǎng)為

（A）        （B）

（C）           （D）

     解答：在中，由正弦定理得：化簡(jiǎn)得AC=

       ，化簡(jiǎn)得AB=，

       所以三角形的周長(zhǎng)為：3+AC+AB=3++

           =3+  故選D.

【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了在三角形正弦定理的的運(yùn)用,以及三角公式恒等變形、化簡(jiǎn)等知識(shí)的運(yùn)用.

   【例8】 （2006年天津卷）如圖，在中，，，．

（1）求的值；

（2）求的值.

解答：（Ⅰ）由余弦定理

（Ⅱ）由，且得

由正弦定理　解得

　　由倍角公式

，故 

【點(diǎn)評(píng)】 本小題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查基本運(yùn)算能力及分析和解決問題的能力.

五、平面向量的工具性應(yīng)用

【例9】 （2007年四川卷）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.

解答：（Ⅰ）解法一：易知

所以，設(shè)，則

因?yàn)?sub>，故當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值

當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值

解法二：易知，所以，設(shè)，則

（以下同解法一）

（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，

聯(lián)立，消去，整理得：

∴

由得：或

又

∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題及推理計(jì)算能力.

  由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何之間有著密切聯(lián)系.在高考中就著重突出了對(duì)向量與數(shù)學(xué)其他分支的結(jié)合考查.

    同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的復(fù)習(xí)中，需要能熟練地掌握向量語言與其他數(shù)學(xué)語言之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化.